[論文レビュー] On mixed projective curves

Mutsuo Oka|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間内の強い極性加重斉次多項式によって定義される混合射影曲線の位相的構造を調査する。曲線の射影的次数が極性次数に等しい一方で、種数は次数のみでは決定されないことが示され、固定された次数に対して種数が無限に大きくなる例が提示され、混合設定における古典的不等式（例えばトムの不等式）に反する。

ABSTRACT

Let $f(\bfz,\bar\bfz)$ be a mixed polar homogeneous polynomial of $n$ variables $\bfz=(z_1,..., z_n)$. It defines a projective real algebraic variety $V:=\{[\bfz]\in \BC\BP^{n-1} | f(\bfz,\bar\bfz)=0 \}$ in the projective space $\BC\BP^{n-1}$. The behavior is different from that of the projective hypersurface. The topology is not uniquely determined by the degree of the variety even if $V$ is non-singular. We study a basic property of such a variety.

研究の動機と目的

• 強い極性加重斉次多項式によって定義される混合射影曲線の位相的不変量を理解すること。
• このような曲線の種数がその次数に対してどのように振る舞うかを調査すること。
• 特にトムの予想を踏まえて、種数が次数の不変量であるかどうかを特定すること。
• 固定された次数に対して任意に大きな種数を持つ混合曲線の具体的な構成を行うこと。

提案手法

• 混合多項式に付随するミルナー織り込みを用いて、ミルナー被覆の位相と射影的曲線との関係を研究する。
• 極性加重斉次性が誘導する ${\mathbb{C}}^{*}$-作用を用いて、加重射影空間および射影的超曲面を定義する。
• 加重射影空間のオーロラ構造とモノドロミー作用を用いて、ミルナー被覆のオイラー特徴標数を計算する。
• ミルナー被覆の位相から導かれる関係式 $ 2 - 2g = 3 - \chi(F)/q $ を用いて、射影的曲線の種数を分析する。
• 種数が異なる曲線を生成するために、単体的およびジョイント型の極性加重斉次多項式の特定の族を構成する。
• リンク成分の解析とオイラー特徴標数の分解を用いて、$ \chi(F) $ および種数を異なる多項式タイプに対して計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加重射影空間設定下で、混合射影曲線の種数はその次数にのみ依存するか？
• RQ2 固定された次数で、混合曲線の種数を任意に大きくできるか？
• RQ3 ミルナー被覆のオイラー特徴標数は、射影的曲線の種数とどのように関係するか？
• RQ4 古典的不変量（例えばトムの不等式）は、混合射影曲線に対してもどの程度成立するか？
• RQ5 所望の種数と次数を持つ混合曲線の明示的構成は可能か？

主な発見

• 混合曲線の射影的次数は、その極性次数 $ d_p $ に等しく、代数的不変量と位相的不変量の直接的な関係を確立する。
• 固定された極性次数 $ q $ に対して、種数は無限に大きくなる可能性がある。これは、任意の $ r $ に対して $ \frac{(q-1)(q-2+2(r-j))}{2} $ の種数を持つ族を構成することで示された。
• ミルナー被覆のオイラー特徴標数 $ \chi(F) $ は次数 $ q $ の不変量ではない。異なる多項式タイプでは、$ q^3 - 3q^2 + 3q $ から $ q(q^2 + 3q + 3) $ までの値を取り得る。
• 例として、$ q=2 $ である曲線が任意の種数 $ g \geq 1 $ を実現できることを示し、任意の滑らかな曲面が種数 $ g $ を持つ $ \mathbb{C}\mathbb{P}^2 $ 内に次数 2 で埋め込めることが示唆された。
• 単体的多項式 $ f_{s_i} $ に付随する曲線 $ C_{s_i} $ の種数は、通常の代数的曲線の次数 $ q $ と同じであるが、他のタイプ（例えば $ f_{s_4}, f_{s_5} $）ではより高い種数を示す。
• ジョイント型曲線 $ h_j $ の種数は、$ \frac{(q-1)(q-2)}{2}, \frac{(q-1)q}{2}, \dots, \frac{(q-1)(q+2r-2)}{2} $ の値を取り得る。これにより、固定された $ q $ に対して種数が無限に大きくなることが証明された。