[論文レビュー] On mixing diffeomorphisms of the disk

A. Avila, Bassam Fayad+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、円板または球面の実解析的面積保存微分同相写像が位相的混合的であることは不可能であり、解析的カテゴリーにおける混合系の滑らかな実現の根本的障害を確立している。Brjuno型回転数に対してはKAM理論を適用し、非Brjunoの場合にはFranksの補題と有限情報型Katok閉じる補題からの微分のギャップ推定に基づく新規な$C^{k-1}$-剛性議論を用いて、このような系は正の位相的エントロピーを持つ必要があることが示され、滑らかな力学における長年の未解決問題が解決された。

ABSTRACT

We prove that a real analytic pseudo-rotation $f$ of the disc or the sphere is never topologically mixing. When the rotation number of $f$ is of Brjuno type, the latter follows from a KAM theorem of Rüssmann on the stability of real analytic elliptic fixed points. In the non-Brjuno case, we prove that a pseudo-rotation of class $C^k$, $k\geq 2$, is $C^{k-1}$-rigid using the simple observation, derived from Franks' Lemma on free discs, that a pseudo-rotation with small rotation number compared to its $C^1$ (or Hölder) norm must be close to Identity. From our result and a structure theorem by Franks and Handel (on zero entropy surface diffeomorphisms) it follows that an analytic conservative diffeomorphism of the disc or the sphere that is topologically mixing must have positive topological entropy. In our proof we need an a priori limit on the growth of the derivatives of the iterates of a pseudo-rotation that we obtain via an effective finite information version of the Katok closing lemma for an area preserving surface diffeomorphism $f$, that provides a controlled gap in the possible growth of the derivatives of $f$ between exponential and sub-exponential.

研究の動機と目的

• 円板または球面の実解析的面積保存微分同相写像が位相的混合的であり、かつ位相的エントロピーがゼロである可能性についての未解決問題を解消すること。
• 特にゼロエントロピー系を含む解析的カテゴリーにおける混合系の滑らかな実現に対する力学的障害を確立すること。
• DiophantineまたはBrjunoの場合を越えて、非Brjuno回転数に対する$C^{k-1}$-剛性枠組みを構築することで、剛性結果を拡張すること。
• 実解析的保存的曲面力学系における位相的混合性が正の位相的エントロピーを意味することを、KAM理論と微分のギャップ推定の組み合わせによって示すこと。

提案手法

• Brjuno型回転数を持つ擬似回転写像に対してRüssmannのKAM定理を適用し、$C^\rho$-剛性を確立する。
• 自由な円板上でFranksの補題を用いて、$C^1$-ノルムに対して回転数が小さい$C^k$擬似回転写像は、恒等写像に$C^{k-1}$-近傍に存在することを示す。
• 面積保存曲面微分同相写像における微分の指数的成長と指数的でない成長の間のギャップを制御するため、有限情報型Katok閉じる補題の有効なバージョンを導出する。
• 反復写像下での微分軌道の振る舞いを制御するため、前向きおよび後ろ向きの錐場$C_n$および$\tilde{C}_n$を構成し、$g_n$下での錐の不変性を保証する。
• 行列$A_n$、$B_n$および摂動項$\tilde{\rho}_n$、$\tilde{\rho}_n'$を介した写像$g_n$の微分に対する推定を用いて、錐場内のベクトルの成長を有界化する。
• ベクトルが$C_n$に属するとき、その$g_n$による像が$C_{n+1}$に属すること、および逆に前像についても同様に成り立つことを、$e^{\rho_n^u}$、$e^{\rho_n^s}$および小さな誤差項$\rho_n$、$\rho_n'$の有界性を用いて確認することで、錐場の不変性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円板または球面の実解析的面積保存微分同相写像が、位相的エントロピーがゼロであるにもかかわらず位相的混合的であることは可能か？
• RQ2 ゼロエントロピー領域においてでさえ、解析的カテゴリーにおける混合系の滑らかな実現に力学的障害が存在するか？
• RQ3 非Brjuno回転数を持つ$C^k$-擬似回転写像について、$C^k$-剛性は拡張可能か？そのときの正則性条件は何か？
• RQ4 有限情報型Katok閉じる補題は、面積保存曲面微分同相写像における微分成長のギャップを制御可能に提供できるか？
• RQ5 位相的混合性、位相的エントロピー、保存的曲面微分同相写像の正則性の間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 円板または球面の実解析的擬似回転写像は、回転数の種類に関わらず、決して位相的混合的ではない。
• Brjuno型回転数の場合は、RüssmannのKAM定理により$C^\rho$-剛性が導かれ、非混合性が示される。
• 非Brjuno回転数の場合は、Franksの補題と微分のギャップ推定を用いた$C^{k-1}$-剛性が確立され、混合性が排除される。
• 有限情報型Katok閉じる補題を用いて、面積保存微分同相写像における微分成長の指数的および非指数的成長の間の制御されたギャップが存在することが証明された。
• 実解析的保存的微分同相写像の円板または球面における位相的混合性は、正の位相的エントロピーを意味する。これは主要な未解決問題を解決した。
• 証明は不変錐場の構成と、微分成長に対する一様な有界性に依拠しており、解析的正則性下では混合が生じえないことを保証する。