[論文レビュー] On Mixing Rank One Infinite Transformations

V. V. Ryzhikov|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ランク1の無限測度保存変換が最小自己結合（MSJ）を持つことを確立し、それらが自分自身のべき以外に可換にならないことを示している。新しい結合に基づく証明法と代数的スパーサーおよびシドン型スパーサー列を用いた構成により、無限測度における混合ランク1系のMSJを確認した。これはキングの有限測度における結果を拡張し、ポisson遅延の中心化子に関する疑問を解決する。

ABSTRACT

J.-P. Thouvenot and the author showed via different approaches that the centralizer of a mixing rank-one infinite measure preserving transformation was trivial. In this note the author presents his joining proof. We also consider constructions with algebraic spacers as well as a class of Sidon constructions to produce new examples of mixing rank one transformations. In connection with Gordin's question on the existence of homoclinic ergodic actions for a zero entropy system we also discuss Poisson suspensions of some modifications of Sidon rank one constructions.

研究の動機と目的

• 混合ランク1無限測度保存変換が最小自己結合（MSJ）を持つことを証明し、キングの有限測度における結果を無限測度の設定に拡張する。
• 代数的スパーサーとシドン型スパーサー列を用いて、混合ランク1変換の新しい例を構成する。
• ポアソン遅延による修正されたシドン構成を用いて、ゼロエントロピー系におけるホモクライン作用に関するゴルディンの問いに応える。
• トゥーヴォノのオルンシュタインに基づく手法とは対照的に、結合論的証明法を用いて混合ランク1系のMSJを示す。
• このような変換の中心化子が自明であることを示し、ポアソン遅延への影響を考察する。

提案手法

• ランク1変換の自己結合を分析するため、結合に基づく証明法を用い、ロホリンタワーによる近似と測度論的推定に依拠する。
• すべての非対角測度 Δᵏ から離れる任意の結合 ν に対して、ν(A×B) ≤ limsup ∑ aⱼᵏ Δᵏ(A×B) かつ ∑ aⱼᵏ ≤ 2 を満たすという補題を適用する。
• 𝔽_{rⱼ} 内の乗法的生成子を用いて定義される代数的スパーサー列を用い、オルンシュタインの性質と部分和の単射性を保証する。
• sⱼ(1) << sⱼ(2) << … << sⱼ(rⱼ) と成るシドン型スパーサー列を構成し、m ∈ (hⱼ, hⱼ₊₁) のとき TᵐUⱼ と交差する列が唯一つであることを保証し、混合性を保証する。
• P(j,nⱼ) = (1/(rⱼ−nⱼ−1))∑ T^{Sⱼ(i,nⱼ)} を用いた平均化推定により、作用素ノルムが 0 に収束することを示し、混合性を示す。
• 弱収束性の性質を適用する：μ(TᵐA ∩ B) → 0 (m → ∞) ならば、系は混合的である。相関の減衰を用いてこれを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合ランク1無限測度保存変換は無限測度設定において最小自己結合（MSJ）を持つのか？
• RQ2 有限体における乗法的生成子を用いた代数的スパーサー列は、MSJ を持つ混合ランク1系を生成できるか？
• RQ3 シドン型スパーサー構成は、制御された相関減衰を伴う混合ランク1系をもたらすか？
• RQ4 修正されたシドン構成のポアソン遅延は、ゼロエントロピー系におけるホモクライン作用を実現できるか？
• RQ5 混合ランク1無限変換の中心化子は自明であり、そのポアソン遅延へも同様に拡張可能か？

主な発見

• 混合ランク1無限測度保存変換は最小自己結合（MSJ）を持つ。これは近似とノルムの減衰に基づく結合論的証明により示された。
• 混合ランク1無限変換の中心化子は、MSJ の直接的な結果として自分自身のべきのみから成る。
• 𝔽_{rⱼ} 内の乗法的生成子を用いた代数的スパーサー構成により、オルンシュタインの性質と部分和の単射性を満たす混合ランク1系が得られる。
• 急速に増加するスパーサーのサイズを持つシドン型スパーサー列により、m ∈ (hⱼ, hⱼ₊₁) のとき TᵐUⱼ と交差する列が唯一つであることが保証され、混合性が保証される。
• 任意のゆっくり増加する ψ(m)（例：ln ln m）に対して、相関減衰が μ(A ∩ TᵐA) ≤ C ψ(m)/√m を満たし、ψ(m) → ∞ が任意にゆっくりとなる。
• 構成された混合ランク1系のポアソン遅延は自明な中心化子を持つ。これはE. ロイの弱収束に関する問いに答えている。