[論文レビュー] On Modular Forms and the Inverse Galois Problem

Luís Dieulefait, Gabor Wiese|ArXiv.org|May 8, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非自明な内的自己同型を含まず、良好な双曲的素数（good-dihedral primes）を用いて、残余ガロア表現の射影的像が $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ または $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ に同型となるようなモジュラー形式の族を構成することにより、逆ガロア問題の新たな事例を確立する。特に、正の密度を占める素数 $\ell$ の集合に対して、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ が $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として実現可能であることを示す。主な結果は、任意の固定された $n$ に対して、このような群が $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として現れる素数 $\ell$ の集合が正の密度を持つことである。これは逆ガロア問題の水平的アプローチを前進させる。

ABSTRACT

In this article new cases of the Inverse Galois Problem are established. The main result is that for a fixed integer n, there is a positive density set of primes p such that PSL_2(F_{p^n}) occurs as the Galois group of some finite extension of the rational numbers. These groups are obtained as projective images of residual modular Galois representations. Moreover, families of modular forms are constructed such that the images of all their residual Galois representations are as large as a priori possible. Both results essentially use Khare's and Wintenberger's notion of good-dihedral primes. Particular care is taken in order to exclude nontrivial inner twists.

研究の動機と目的

• 有限群 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ および $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ の新たな族に対する逆ガロア問題の拡張。
• 任意の固定された $n$ に対して、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ が $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として現れる素数 $\ell$ の集合が正の密度を持つことを証明すること。
• 非自明な内的自己同型を含まず、複素乗法を持たない新形式の構成により、射影的像の最大サイズを保証すること。
• 良好な双曲的（good-dihedral）素数の理論を応用し、ガロア表現の像を制御し、例外的素数を回避すること。

提案手法

• 素数 $q$ における良好な双曲的性質を持つ新形式を $S_2(\Gamma_0(Nq^2))$ または $S_3(\Gamma_1(Nq^2), \chi)$ に構成し、射影的像を大きく保証すること。
• カーレとウィンテンバーガーが導入した良好な双曲的素数の理論を用いて、mod $\ell$ ガロア表現の像を制御すること。
• 特に奇数のディリクレ指標を用いることで、適切なレベルと特徴を選び、非自明な内的自己同型および複素乗法の不在を保証すること。
• リビートの大きな像定理を適用し、ほとんどすべての素数 $\ell$ に対して、残余ガロア表現の射影的像が $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ または $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ に一致することを保証すること。
• クラス体論と、フーリエ係数体 $\mathbb{Q}_f$ 内に次数 $n$ の巡回拡大が存在することを用いて、残差次数 $n$ を持つ素数 $\ell$ の存在を保証すること。
• $N \equiv 1 \mod 2n$ のとき、$\mathbb{Q}_f$ が $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ の最大実部分体を含むことを利用し、次数 $n$ の巡回拡大の構成を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された $n$ に対して、群 $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ は $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として、正の密度を持つ素数 $\ell$ の集合で実現可能か？
• RQ2 そのようなモジュラー形式を構成することで、その残余ガロア表現の射影的像が正確に $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ または $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ に一致するか？
• RQ3 使用する新形式が非自明な内的自己同型を含まず、複素乗法形式ではないことをどのように保証できるか？
• RQ4 良好な双曲的素数は、ガロア表現の像を制御し、逆ガロア問題の結果を得るために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の固定された整数 $n$ に対して、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ が $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として現れる素数 $\ell$ の集合が正の密度を持つ。$\ell$、$\infty$、および $n$ の偶奇に応じて最大3つの他の素数でのみ分岐する。
• $n$ が奇数のとき、$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ が $\mathbb{Q}$ 上のガロア群として現れる素数 $\ell$ の集合が正の密度を持つ。分岐は $\ell$、$\infty$、および2つの他の素数までに制限される。
• 構成により、使用された新形式が非自明な内的自己同型を含まず、複素乗法形式でもないことが保証され、これは射影的像の最大サイズを達成する上で不可欠である。
• 新形式に付随する残余ガロア表現の射影的像は、$n$ が偶数のときは $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$、奇数のときは $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{F}_{\ell^n})$ に一致する。これは $\mathbb{F}_{\ell^n}$ 内での行列式の性質による。
• $N \equiv 1 \mod 2n$ のとき、$\mathbb{Q}_f$ 内に次数 $n$ の巡回拡大が存在することが保証され、クラス体論を用いて適切な素数 $\ell$ を特定することが可能になる。
• すべての $n$ に対して一様に結果が得られ、良好な双曲的素数を備えた新形式の族を用いる。このような $\ell$ の密度は正であるが、正確な密度は計算されていない。