[論文レビュー] On modular forms for some noncongruence arithmetic subgroups

Chris A. Kurth, Линг Лонг|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ の非合同部分群におけるモジュラー形式の非有界分母性（UBD）に注目し、有限指数部分群としての同型群（有限アーベル群へのホモモルフィズムの核として定義される）を対象としている。種数1の合同部分群の数体上でのモデルを持つタイプII(A)同型群を分析することで、主要仮定のもとで、そのような群の正の割合（$X^2$ に指数的に比例）が UBD を満たすことを証明しており、代数的係数をもつ真正の非合同モジュラー形式が通常非有界分母を持つという強い証拠を提供している。

ABSTRACT

In this paper, we consider modular forms for finite index subgroups of the modular group whose Fourier coefficients are algebraic. It is well-known that the Fourier coefficients of any holomorphic modular form for a congruence subgroup (with algebraic coefficients) have bounded denominators. It was observed by Atkin and Swinnerton-Dyer that this is no longer true for modular forms for noncongruence subgroups and they pointed out that unbounded denominator property is a clear distinction between modular forms for noncongruence and congruence modular forms. It is an open question whether genuine noncongruence modular forms (with algebraic coefficients) always satisfy the unbounded denominator property. Here, we give a partial positive answer to the above open question by constructing special finite index subgroups of SL_2(Z) called character groups and discuss the properties of modular forms for some groups of this kind.

研究の動機と目的

• 代数的係数をもつすべての真正の非合同モジュラー形式が非有界分母を持つかどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 非合同部分群のモジュラー形式における非有界分母性（UBD）を、特に同型群に焦点を当てて調査すること。
• 大きな非合同部分群の族（特にタイプII(A)同型群）が UBD を満たすための十分条件を確立すること。
• 種数1の数体上にモデルをもつ合同部分群に対して、タイプII(A)同型群の正の割合が UBD を満たすことを示し、より広範な予想を支持すること。

提案手法

• 著者たちは、有限指数部分群 $\Gamma^0 \subset \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ から有限アーベル群へのホモモルフィズムの核として同型群を定義する。
• ホモモルフィズムによって放物型あるいは放物型＋楕円的元が非自明に写されるかどうかに基づき、同型群をタイプIとタイプII(A)に分類する。
• 種数の公式と数体上でのモジュラー曲線のモデルを用いて、$\Gamma^0$ 及びその同型群の構造を分析する。
• 形式的級数条件（FS-B）を適用してフーリエ係数の整数性を制御し、代数的数論を用いて分母を分析する。
• すべての素数 $p$ に対して、$\Gamma^0$ の指数 $p$ のタイプII(A)同型群が UBD を満たすならば、$X \to \infty$ のとき、そのような群のうち UBD を満たすものの数は $c \cdot X^2$ 以上で増加し、正の密度を示すことを証明する。
• $\Gamma_n = \langle \Gamma^0(11), \sqrt[n]{G_5} \rangle$ をタイプIおよびタイプIIの同型群の族として分析し、$\sqrt[n]{G_5}$ が $n$ が 12 の約数でないか 5 で割り切れる場合を除き、非有界分母を持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的係数をもつすべての非合同部分群が、モジュラー形式に対して非有界分母性（UBD）を満たすのか？
• RQ2 特にタイプII(A)同型群に限定して、非合同部分群のうち UBD を満たすものの正の密度を確立できるか？
• RQ3 ベースとなる合同部分群 $\Gamma^0$ にどのような条件を課すと、そのタイプII(A)同型群が UBD 性質を継承するのか？
• RQ4 モジュラー関数における根の構成 $\sqrt[n]{G_5}$ の下で、フーリエ係数の代数的整数性の性質はどのように振る舞うか？
• RQ5 モジュラー曲線の種数および定義体の役割は、関連する同型群の UBD 行動を決定づけるか？

主な発見

• 種数1の合同部分群 $\Gamma^0$ が数体上にモデルをもつ場合、ある素数 $p$ に対してすべての指数 $p$ のタイプII(A)同型群が UBD を満たすならば、$X$ 未満の指数をもつそのような群のうち UBD を満たすものの数は、ある $c > 0$ を用いて $c \cdot X^2$ 以上で増加し、正の密度を示す。
• $\Gamma_n = \langle \Gamma^0(11), \sqrt[n]{G_5} \rangle$ は、$n \notin \{1,2,3,4,6,12\}$ かつ $5 \nmid n$ のとき、$\Gamma^0(11)$ のタイプI同型群をなし、これらの群は UBD を満たす。
• $n=5$ のとき、$\sqrt[5]{G_5}$ は指数5のタイプII同型群に対応し、この群も UBD を満たす。
• $n \in \{2,3,4,6,12\}$ のとき、$\sqrt[n]{G_5}$ はイータ商であり、したがって合同モジュラー関数であるため、$\Gamma_n$ は合同となる。このため、非合同解析の対象外となる。
• 付録では、$h(w)$、$g^n(w)$、$h(w)g^{n_1}(w)$ が形式的級数条件（FS-B）を満たすならば、$g^{n_1}(w)$ に対しても同様に成立することを証明しており、これは係数の整数性を制御するために不可欠である。
• 証明により、$g(w)$ が代数的係数をもち、$g^n(w)$ が (FS-B) を満たすならば、正規化の後、$g(w)$ 自身も代数的整数係数を持つ必要があることが示され、$n$ が 12 の約数でないか 5 で割り切れる場合にのみ非有界分母が生じることを示唆している。