[論文レビュー] On Moebius and conformal maps between boundaries of CAT(-1) spaces

Kingshook Biswas|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、CAT(-1)空間の境界におけるメービウスおよびコンフォーマル写像と測地的フローの力学的性質との間に深い対応関係を確立し、反転同値性からの逸脱を測るための統合シュワルツィアンを導入する。単連結で負の曲率を持つ多様体間のメービウス写像が擬等長写像に拡張可能であることを証明し、力学的型（楕円型、放物型、双曲型）に基づいてメービウス自己写像を特徴づける。これにより、マークド長さスペクトルに関する力学的分類と剛性結果が得られる。

ABSTRACT

We consider Moebius and conformal homeomorphisms $f : \partial X o \partial Y$ between boundaries of CAT(-1) spaces $X,Y$ equipped with visual metrics. A conformal map $f$ induces a topological conjugacy of the geodesic flows of $X$ and $Y$, which is flip-equivariant if $f$ is Moebius. We define a function $S(f) : \partial ^2 X o \mathbb{R}$, the {\it integrated Schwarzian} of $f$, which measures the deviation of the topological conjugacy from being flip-equivariant, in particular vanishing if $f$ is Moebius. Conversely if $X,Y$ are simply connected complete manifolds with pinched negative sectional curvatures, then $f$ is Moebius on any open set $U \subset \partial X$ such that $S(f)$ vanishes on $\partial^2 U$. Indeed we obtain an explicit formula for the cross-ratio distortion in terms of the integrated Schwarzian. For such manifolds, we show that there is a Moebius homeomorphism $f : \partial X o \partial Y$ if and only if there is a topological conjugacy of geodesic flows $ϕ: T^1 X o T^1 Y$ with a certain uniform continuity property along geodesics. We show that if $X,Y$ are proper, geodesically complete CAT(-1) spaces then any Moebius homeomorphism $f$ extends to a $(1, \log 2)$-quasi-isometry with image $\frac{1}{2}\log 2$-dense in $Y$. We prove that if $X,Y$ are in addition metric trees then $f$ extends to a surjective isometry. For $C^1$ conformal maps $f : \partial X o \partial Y$ with bounded integrated Schwarzian and with domain $X$ a simply connected negatively curved manifold with a lower bound on sectional curvature, similar arguments show that $f$ extends to a $(1, \log 2 + 12||S(f)||_{\infty})$ quasi-isometry. We also obtain a dynamical classification of Moebius self-maps $f : \partial X o \partial X$ into three types, elliptic, parabolic and hyperbolic.

研究の動機と目的

• CAT(-1)空間の境界におけるメービウス／コンフォーマル写像と測地的フローの位相的共役性との間の対応関係を確立すること。
• 反転同値性からの逸脱の尺度としての統合シュワルツィアン S(f) を定義し、測地的共役性におけるその性質を分析すること。
• 単連結で負の曲率を持つ多様体間のメービウス写像が、明示的な歪みの上限を伴って擬等長写像に拡張可能であることを証明すること。
• 測地的フローの力学的挙動に基づいて、境界上のメービウス自己写像を楕円型、放物型、双曲型に分類すること。
• 適切で測地的に完全なCAT(-1)空間に対して、メービウス写像が (1, log 2)-擬等長写像に拡張可能であり、その像が目標空間において log 2/2-稠密であることを示すこと。

提案手法

• コンフォーラル写像 f がどれほどメービウス写像でないかを測るための統合シュワルツィアン S(f): ∂²X → ℝ を導入し、S(f) ≡ 0 であることはかつて f がメービウス写像であることと同値である。
• CAT(-1)空間の境界における視覚的距離を用いて、交比不変性とメービウス同値性を定義する。
• ∂X 上のメービウス同値な距離の空間 M(∂X) を構成し、X を M(∂X) に等長埋め込みすることで拡張性質を分析する。
• 一様擬等長写像技法を用いて、メービウス写像が (1, log 2)-擬等長写像に拡張可能であり、Y において log 2/2-稠密な像を持つことを示す。
• 水平超曲面距離とコンフォラル写像の微分推定値を用いて反復写像の収束を分析し、力学的型を分類する。
• 一様擬測地線と反復写像の有界距離性質を用いた背理法を用いて、メービウス自己写像の力学的性質を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CAT(-1)空間の境界間のコンフォラル写像が、対応する空間の擬等長写像に拡張可能となる条件は何か？
• RQ2 統合シュワルツィアン S(f) は、コンフォラル写像がどれほどメービウス写像でないかをどのように測定するか？
• RQ3 負の曲率を持つ多様体の文脈において、測地的フローの共役性と境界上のメービウス写像との間の明確な関係は何か？
• RQ4 CAT(-1)空間の境界上のメービウス自己写像は、力学的挙動に基づいて楕円型、放物型、双曲型に動的に分類可能か？
• RQ5 マークド長さスペクトルが、閉じた負の曲率を持つ多様体の計量をどの程度決定づけるか。また、これは無限遠におけるメービウス構造とどのように関係するか？

主な発見

• コンフォラル写像 f: ∂X → ∂Y は、測地的フローの位相的共役性を誘導するが、これはかつて f がメービウス写像であるときかつそのときに限り、反転同値性を満たす。
• 統合シュワルツィアン S(f) が恒等的に 0 であることは、誘導される共役性が反転同値性を満たすことと同値であり、S(f) はこの性質からの逸脱を測る。
• 曲率が負にピンチされた単連結で完全な多様体に対して、f が開集合 U ⊂ ∂X 上でメービウス写像であることは、かつて ∂²U 上で S(f) ≡ 0 であることと同値である。
• 適切で測地的に完全なCAT(-1)空間 X, Y 間の任意のメービウスホメオモルフィズム f: ∂X → ∂Y は、(1, log 2)-擬等長写像に拡張可能であり、その像は Y において (1/2)log 2-稠密である。
• X と Y が計量的木であるとき、任意のメービウス写像 f: ∂X → ∂Y は全単射等長写像に拡張可能である。
• 有界な統合シュワルツィアンをもつ C¹ コンフォラル写像に対しては、f は (1, log 2 + 12||S(f)||∞)-擬等長写像に拡張可能である。