[論文レビュー] On monotonicity, stability, and construction of central schemes for hyperbolic conservation laws with source terms

V. S. Borisov, M. Mond|arXiv (Cornell University)|May 8, 2007

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、源項を伴う双曲型保存則における中心差分スキームの安定性および単調性解析のための新しいフレームワークを提案する。変分スキームのアプローチを用い、非対称行列へのフレドリッヒスの定理の一般化と、単調な区分的3次補間の導入により、著者らは高精度で、ロバスト性に富み、無条件安定性を示す修正Lax-Friedrichsスキームを開発した。数値実験において、複数の保存則でその有効性が確認された。

ABSTRACT

The monotonicity and stability of difference schemes for, in general, hyperbolic systems of conservation laws with source terms are studied. The basic approach is to investigate the stability and monotonicity of a non-linear scheme in terms of its corresponding scheme in variations. Such an approach leads to application of the stability theory for linear equation systems to establish stability of the corresponding non-linear scheme. The main methodological innovation is the theorems establishing the notion that a non-linear scheme is stable (and monotone) if the corresponding scheme in variations is stable (and, respectively, monotone). Criteria are developed for monotonicity and stability of difference schemes associated with the numerical analysis of systems of partial differential equations. The theorem of Friedrichs (1954) is generalized to be applicable to variational schemes with non-symmetric matrices. A new modification of the central Lax-Friedrichs (LxF) scheme for the accurate solution of hyperbolic conservation laws is presented. A monotone piecewise cubic interpolation is used to modify LxF scheme to give an accurate approximation for the model in question. The stability and monotonicity of the modified scheme are investigated. Some versions of the modified scheme are tested on several conservation laws, and the scheme is found to be accurate and robust.

研究の動機と目的

• 源項を伴う双曲型保存則の非線形差分スキームの単調性および安定性を分析する理論的基盤を確立すること。
• 変分スキームの文脈において、非対称行列へのフレドリッヒスの安定性定理の拡張を図り、非線形系へのより広範な適用可能性を実現すること。
• 高次補間を用いて精度を向上させつつ、単調性および安定性を維持する修正Lax-Friedrichsスキームを開発すること。
• 提案されたスキームをさまざまな双曲型保存則に適用し、数値実験を通じてそのロバスト性および精度を実証すること。

提案手法

• 非線形スキームの対応する変分スキームを用いた安定性および単調性の分析により、非線形解析を線形安定性理論に還元する。
• フレドリッヒス（1954）の定理を、変分スキームの文脈において非対称行列に一般化し、より広いクラスの系に対する安定性解析を可能にする。
• Lax-Friedrichsスキームの精度を向上させるために、単調な区分的3次補間を導入し、安定性を損なわないようにする。
• 導出された理論的条件下で単調性および安定性を保つように、修正された中央型Lax-Friedrichsスキームを定式化する。
• 複数の双曲型保存則に修正スキームを適用し、数値的テストを通じてその性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 源項を伴う双曲型保存則の非線形差分スキームが、どのような条件下で安定かつ単調となるか？
• RQ2 変分スキームにおける非対称行列へのフレドリッヒスの安定性定理の拡張は、どのように実現できるか？
• RQ3 修正Lax-Friedrichsスキームは、単調性および安定性を維持しながら、精度を向上させることができるか？
• RQ4 単調な区分的3次補間は、双曲型系に対する中心スキームの性能向上にどのような役割を果たすか？
• RQ5 多様な双曲型保存則において、修正スキームの精度およびロバスト性は、どのように評価されるか？

主な発見

• 提案されたフレームワークにより、非線形スキームが安定かつ単調であるための条件は、その変分スキームがそれぞれ安定かつ単調であることである、と示された。
• フレドリッヒスの定理を非対称行列に一般化することで、源項を伴うより広範なクラスの双曲型系に対する安定性解析が可能になった。
• 単調な区分的3次補間を用いて強化された修正Lax-Friedrichsスキームは、標準的なLxFスキームよりも高い精度を達成した。
• 数値実験により、修正スキームが複数の保存則において安定性および単調性を維持することが確認された。
• 困難なテストケースでさえも、源項を伴う双曲型保存則の解法において、本スキームはロバストな性能と高い精度を示した。