[論文レビュー] On Montel's theorem in several variables

J. M. Almira, Kh. F. Abu-Helaiel|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2013

Functional Equations Stability Results参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、平行移動作用素の不変部分空間を用いて、モンテルの定理を複素数および実数の複数変数へ拡張する。連続的または分布的解が独立した周期を持つ高階差分方程式 Δₕ^{m+1}f = 0 を満たす場合、それらは多項式であることが証明され、古典的結果が d 次元設定へ一般化され、病的な反例により可測関数に対するバージョンが失敗することが示される。

ABSTRACT

Recently, the first author of this paper, used the structure of finite dimensional translation invariant subspaces of C(R,C) to give a new proof of classical Montel's theorem, about continuous solutions of Fréchet's functional equation $Δ_h^mf=0$, for real functions (and complex functions) of one real variable. In this paper we use similar ideas to prove a Montel's type theorem for the case of complex valued functions defined over the discrete group Z^d. Furthermore, we also state and demonstrate an improved version of Montel's Theorem for complex functions of several real variables and complex functions of several complex variables.

研究の動機と目的

• 関数の複数変数（実および複素）へのフレシェの関数方程式の多項式解に関するモンテルの古典的定理を一般化すること。
• ℝᵈ 上の分布に対して、平行移動不変な有限次元部分空間を用いたモンテルの定理のバージョンを確立すること。
• モンテルの定理が可測関数に対して成り立つかどうかを調査し、構築された反例により否定的結果を得ること。
• 関数方程式のアプローチと調和解析および関数方程式における不変部分空間理論を統合すること。
• 指数型単項式基底と密度に関する議論を用いて、1 変数解の先行結果を高次元設定へ拡張すること。

提案手法

• C(ℝᵈ, ℂ) や分布空間における有限次元平行移動不変部分空間の構造を用いて、Δₕ^{m+1}f = 0 の解を特徴付ける。
• アーンセロン＝コレバールによる平行移動不変部分空間の指数型単項式 x^α e^{⟨x,λ⟩} を用いた特徴付けを適用し、解空間の基底を構成する。
• 高階差分作用素 Δₕ^{m+1}f(x) = ∑_{k=0}^{m+1} (-1)^{m+1-k} C(m+1,k) f(x + kh) を用いて関数方程式を定義する。
• 群 h₁ℤ + ⋯ + h_ℓℤ が ℝᵈ に稠密であることから、稠密な平行移動集合に関する不変性を導き、結果として完全な平行移動不変性を得る。
• ドジョビッチの恒等式を用いて、混合差分作用素 Δ_{h₁⋯h_{m+1}}f と反復差分 Δₕ^{m+1}f の関係を関係づける。
• ℝ² 上で Δₕ₁ⁿf = Δₕ₂ⁿf = 0 (n ≥ 2) を満たすが、f が多項式でない可測で非多項式関数を用いた反例を構築し、可測関数におけるモンテルの定理の失敗を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モンテルの定理（Δₕ^{m+1}f = 0 の多項式解に関するもの）は、複数の実変数関数へ拡張可能か？
• RQ2 同様の結論は、ℂᵈ 上の複素数値関数に対しても成り立つか？ また、分布へ一般化可能か？
• RQ3 モンテルの定理は ℝᵈ 上の可測関数に対し成立するか、あるいは病理的解が存在するか？
• RQ4 高階差分作用素の下で、C(ℝᵈ, ℂ) または分布空間における有限次元平行移動不変部分空間の構造はいかなるものか？
• RQ5 平行移動群が稠密であるとき、解の基底を指数型単項式を用いて明示的に記述可能か？

主な発見

• f ∈ C(ℝᵈ, ℂ) が ℓ ≥ d 個の独立なベクトル h₁,…,h_ℓ に対して Δₕₖ^{m+1}f = 0 を満たし、かつ h₁ℤ + ⋯ + h_ℓℤ が ℝᵈ に稠密であるならば、f は次数 ≤ m の多項式である。
• 分布 f ∈ X_d（C(ℝᵈ, ℂ) または ℝᵈ 上の分布）に対しても、同様の条件が成り立てば f は次数 ≤ m の多項式である。
• f(x) = ∑_{|α|<N} a_α x^α（ある N ∈ ℕ および複素係数 a_α を用いて）と表される。
• 反例により、モンテルの定理が可測関数に対しては成立しないことが示された：ℝ² 上で Δₕ₁ⁿf = Δₕ₂ⁿf = 0（n ≥ 2）を満たすが、f は多項式でない可測関数 f が存在する。
• 失敗の原因は、f の生成する線形空間がすべての平行移動に関して不変でないためであり、たとえ稠密な部分群に関しては不変であっても同様である。
• 本稿は、正則性（連続性または分布的性質）が本質的であることを確認した。可測性のみでは多項式解を強制できない。