[論文レビュー] On motivic cohomology with Z/l coefficients

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|May 28, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、任意の素数 $ l $ に対して、ミルナーK理論と有限係数をもつエタールコホロジーの間の同型を確立するブロッハ＝カトの予想を証明する。モチーフ的コホロジー、一般化されたロスト多様体、およびモチーフ的次数定理を用いて、分割多様体を構成し、すべての $ n $ に対してノルム剰余準同型が同型であることを検証することで、$ l > 2 $ を含むすべての $ l $ に対して予想の証明を完了する。この研究は、対称冪作用素と埋め込み単体的スキームを用いて、$ \mathbb{Z}/2 $-係数に関する以前の結果を任意の $ \mathbb{Z}/l $-係数へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we give a proof of the Bloch-Kato conjecture relating motivic cohomology and etale cohomology. It is a corrected version of the paper with the same title which posted earlier.

研究の動機と目的

• すべての素数 $ l $ に対して、ミルナーK理論と $ \mathbb{Z}/l $-係数をもつエタールコホロジーを結ぶブロッハ＝カトの予想を証明すること。
• 以前 $ l=2 $ で確立されたミルナーの予想の証明を、幾何的モデルが明示的でない奇素数 $ l>2 $ へと拡張すること。
• モチーフ的コホロジーと対称冪作用素を用いて、$ \nu_{n} $-多様体のモチーフの直和成分として一般化されたロスト多様体を構成すること。
• モチーフ的次数定理を確立し、古典的次数公式をモチーフ的設定へ一般化すること。
• ロスト多様体と巡回体拡大のモチーフの理論を、一般化されたロスト多様体という単一の枠組みで統一すること。

提案手法

• シンボル $ \underline{a} = (a_1, \dots, a_n) $ に関連する埋め込み単体的スキーム上のテートモチーフから一般化されたロスト多様体を構成する。
• 対称冪作用素とミルナー作用素 $ Q_i $ を関連づける定理 3.8 を用いて、重要な双次数におけるモチーフ的コホロジーを制御する。
• モチーフ的次数定理（定理 4.4）を適用して、一般化されたロスト多様体が $ \nu_n $-分割多様体のモチーフの直和成分であることを示す。
• スペクトル系列とモチーフ的ホモロジー計算を用いて、単体的スキームおよびそれらに関連する多様体のコホロジーを分析する。
• 双対性結果（補題 5.17）とモチーフ的マルガリスホモロジーの消失定理を用いて、コホロロジー計算を簡略化する。
• そのエタール対応体を用いて、低双次数における同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $ l $ に対して、$ \mathbb{Z}/2 $-係数から $ \mathbb{Z}/l $-係数へ、ブロッハ＝カトの予想をどのように拡張できるか。
• RQ2 $ l $ と素な次数のゼロサイクルをもたない多様体に対する、古典的次数公式のモチーフ的アナロジーは何か。
• RQ3 ピフスター二次形式のような明示的な幾何的モデルが存在しない $ l > 2 $ に対して、一般化されたロスト多様体はどのように構成できるか。
• RQ4 対称冪ファンクターとミルナー作用素は、有限係数をもつモチーフ的コホロジーをどのように関連付けるか。
• RQ5 埋め込み単体的スキームとそのモチーフ的コホロジーは、分割多様体とモチーフの構造をどのように制御するか。

主な発見

• すべての $ n $ および任意の素数 $ l $ に対して、ノルム剰余準同型 $ K_n^M(k)/l \to H^n_{\text{ét}}(k, \mu_l^{⊗ n}) $ が同型である。これにより、ブロッハ＝カトの予想が証明される。
• 一般化されたロスト多様体は、シンボルに関連する埋め込み単体的スキームに付随する $ \nu_n $-分割多様体のモチーフの直和成分として存在する。
• モチーフ的次数定理（定理 4.4）により、$ l $- torsion が特定の次数に存在しないモチーフへの $ \nu_n $-多様体からの準同型は、$ l $ で割り切れる次数を持つことが示される。
• シンボル $ \underline{a} $ に関連する埋め込み単体的スキーム $ \mathcal{X}_{\underline{a}} $ のモチーフ的コホロジーは、一般化されたロスト多様体の構造を制御する。
• $ \text{Hom}(\mathbb{Z}_{(l)}, M_{l-1}(1)[1]) \to \text{Hom}(\mathbb{Z}_{(l)}, \mathbb{Z}_{(l)}(1)[1]) $ はモノモーフィズムであり、重要なコホロロジー計算における単射性を示唆する。
• 定理 6.18 により、$ \nu_{n-1} $-多様体は一般化された分割多様体であることが確認され、すなわち、シンボルが消える体上では、$ l $ と素な次数のゼロサイクルをもつ。