[論文レビュー] On Multi Poly-Bernoulli Polynomials

Roberto B. Corcino, Hassan Jolany+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多重多対数関数を用いて一般化された多変数多ベルヌーイ多項式を導入し、Hurwitz-Lerch型多変数多ベルヌーイ多項式の明示的公式を r-ウィットニー数の第二種を用いて導出する。主な貢献は、特殊関数とスターリング型数を介して、これらの多項式を組合せ的数論と結びつける閉形式の式を得ることにある。

ABSTRACT

In this paper, we define multi poly-Bernoulli polynomials using multiple polylogarithm and derive some properties parallel to those of poly-Bernoulli polynomials. Furthermore, an explicit formula for certain Hurwitz-Lerch type multi poly-Bernoulli polynomials is established using the $r$-Whitney numbers of the second kind.

研究の動機と目的

• 多重多対数関数を用いて、多変数ベルヌーイ多項式を複数のパラメータへと拡張すること。
• 一般化されたゼータ関数を用いて、Hurwitz-Lerch型多変数ベルヌーイ多項式を定義すること。
• これらの多項式の r-ウィットニー数の第二種を用いた明示的公式を確立すること。
• パラメータが負の整数である特殊ケースに対して、多項式の値に組合せ的解釈を与えること。

提案手法

• 多重多対数関数と指数関数項を含む母関数を用いて、一般化された多変数ベルヌーイ多項式を定義する。
• 一般化されたHurwitz-Lerch多重ゼータ関数を含む母関数を用いて、Hurwitz-Lerch型多変数ベルヌーイ多項式を導入する。
• r-ウィットニー数の第二種の指数母関数を用いて、明示的公式を導出する。
• 多項式の母関数を (1−e⁻ᵗ) と指数関数項を含む級数として表現し、r-ウィットニー数と関連付ける。
• 恒等式 W₋₁,ₓᵣ(n, mᵣ) = (−1)ⁿ⁺ᵐʳ S(n, mᵣ) を用いて、r-ウィットニー数と第二種スターリング数との関係を確立する。
• Hurwitz-Lerch多重ゼータ関数の母関数を用いて、多項式の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、多重多対数関数を用いてベルヌーイ多項式を複数のパラメータへと一般化できるか？
• RQ2 既知の組合せ的数を用いて、Hurwitz-Lerch型多変数ベルヌーイ多項式の明示的公式はどのように表されるか？
• RQ3 r-ウィットニー数の第二種は、これらの多項式の母関数の係数とどのように関係するか？
• RQ4 パラメータが負の整数である場合、多項式の非負整数値に組合せ的解釈を与えることは可能か？

主な発見

• Hurwitz-Lerch型多変数ベルヌーイ多項式の明示的公式は以下の通りである：Bₙ,ₐ⁽ᵏ¹,…,ᵏʳ⁾(x) = Σ₀≤ₘ₁≤…≤ₘʳ≤ₙ [mᵣ! W₋₁,ₓᵣ(n, mᵣ)] / [(m₁+a−r+1)ᵏ¹ ⋯ (mᵣ+a)ᵏʳ]。
• x = 0 のとき、公式は Bₙ,ₐ⁽ᵏ¹,…,ᵏʳ⁾ = Σ₀≤ₘ₁≤…≤ₘʳ≤ₙ [(-1)ⁿ⁺ᵐʳ mᵣ! S(n, mᵣ)] / [(m₁+a−r+1)ᵏ¹ ⋯ (mᵣ+a)ᵏʳ] に簡略化され、ここで S(n, mᵣ) は第二種スターリング数を表す。
• r = 1 のとき、この結果は既知のHurwitz-Lerchベルヌーイ数の明示的公式を回復する。
• パラメータ k₁, ..., kᵣ が負の整数である場合、Bₙ,ₐ⁽⁻ᵏ¹,…,⁻ᵏʳ⁾ の値は非負整数となり、組合せ的解釈の可能性を示唆する。
• r-ウィットニー数の第二種の母関数が主な公式の導出に用いられ、特殊関数と組合せ的列の間の関係を確立する。
• 恒等式 W₋₁,₀(n, mᵣ) = (−1)ⁿ⁺ᵐʳ S(n, mᵣ) を用いて、r-ウィットニー数とスターリング数との関係が確認された。