[論文レビュー] On multicurve models for the term structure

Laura Morino, Wolfgang J. Ruggaldier|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、マルチカーブフレームワーク下での金利デリバティブの価格設定を目的とした二曲線アフィン短期金利モデルを提案する。一方の曲線はキャッシュフローを割引く（OIS）、もう一方はフォワード金利を生成する（LIBOR）。FRAsおよびCAPsの明確な価格評価式を導出し、スプレッドリスクの影響を定量化する明示的な「補正要因」を導入。これにより、アフィンダイナミクス下での一曲線と二曲線価格設定を直接比較可能となる。

ABSTRACT

In the context of multi-curve modeling we consider a two-curve setup, with one curve for discounting (OIS swap curve) and one for generating future cash flows (LIBOR for a give tenor). Within this context we present an approach for the clean-valuation pricing of FRAs and CAPs (linear and nonlinear derivatives) with one of the main goals being also that of exhibiting an "adjustment factor" when passing from the one-curve to the two-curve setting. The model itself corresponds to short rate modeling where the short rate and a short rate spread are driven by affine factors; this allows for correlation between short rate and short rate spread as well as to exploit the convenient affine structure methodology. We briefly comment also on the calibration of the model parameters, including the correlation factor.

研究の動機と目的

• 線形および非線形金利デリバティブ（FRAs、CAPs）の二曲線設定下での明確な価格評価フレームワークの構築。
• 割引（OIS）とフォワード金利生成（LIBOR）のための二つの異なる曲線を用いた金利期限構造のモデル化。
• 一曲線と二曲線価格設定の差を定量化する明示的な補正要因の導出。これはクアント型またはベーシス補正に類似。
• 短期金利およびスプレッド過程のアフィン構造を活用し、リスク中立測度下での解析的価格設定を可能にする。
• キャリブレーションおよび非線形デリバティブ（キャプリーツなど）への拡張の基盤を提供。フォワード測度およびフーリエ変換法を用いる。

提案手法

• 短期金利とそのスプレッド（信用・流動性リスクを表す）が、平均回帰型オーナイズン・ウーレン過程によって駆動される二要因アフィンモデルを定式化。
• 短時間金利にスプレッド $ s_t $ を含めた測度下での割引キャッシュフローの期待値として、架空のリスク付き債券価格 $ \bar{p}(t,T) $ を定義。これによりアフィン構造が保持される。
• FRA価格を、$ p(t,T)/p(t,T+\Delta) $ の比と、短期金利とそのスプレッドの相関を含む指数補正項の関数として導出。
• フォワード測度下での対数割引因子のモーメント生成関数を用い、フーリエ変換法によりキャプリーツを価格付け。
• リスク中立測度 $ Q $ と $ T+\Delta $-フォワード測度 $ Q^{T+\Delta} $ 間のラドン＝ニコディム微分を適用。これによりアフィン構造が保持される。
• 補正要因を $ \exp\left[\kappa(\sigma^1)^2\tilde{B}^1\int_t^T B^1(u,T)e^{-b^1(T-u)}du\right] $ として明示的に表現。これはモデルパラメータおよび相関に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一括取引リスクなしの二曲線フレームワーク下で、FRAsの明確な価格評価式をどのように導出できるか？
• RQ2 アフィンモデル下で、一曲線と二曲線価格設定の差を定量化する補正要因の解析的形は何か？
• RQ3 短期金利およびスプレッド過程のアフィン構造をどのように活用し、線形および非線形デリバティブの扱いやすい価格式を導出できるか？
• RQ4 フォワード測度およびフーリエ変換技術を用いて、キャプリーツの価格付けをFRAから拡張可能か？モデルの一貫性を保つことができるか？
• RQ5 短期金利とスプレッドの相関が、補正要因の大きさに果たす役割は何か？

主な発見

• 二曲線モデルにおけるFRA価格は、$ \bar{\nu}_{t,T} = \frac{p(t,T)}{p(t,T+\Delta)} \cdot E^Q\left[\frac{p(T,T+\Delta)}{\bar{p}(T,T+\Delta)} \mid \mathcal{F}_t\right] \cdot \exp\left[\kappa(\sigma^1)^2\tilde{B}^1\int_t^T B^1(u,T)e^{-b^1(T-u)}du\right] $ として与えられ、補正要因を組み込む。
• 補正要因は $ \exp\left[\kappa(\sigma^1)^2\bar{B}^1\int_t^T B^1(u,T)e^{-b^1(T-u)}du\right] $ として明示的に導出され、短期金利およびスプレッド要因のボラティリティ、平均回帰、相関に依存する。
• 補正要因の積分は $ \frac{1}{2(b^1)^3}\left(1 - e^{-b^1\Delta}\right)\left(1 - e^{-b^1(T-t)}\right)^2 $ に評価され、補正の閉形式表現が得られる。
• キャプリーツに関しては、ペイオフのフーリエ変換を用い、$ X = -\log\bar{p}(T,T+\Delta) $ のフォワード測度下でのモーメント生成関数により価格式が表現される。
• フォワード測度下でのモーメント生成関数は、$ Q $ 測度版と乗法的要因 $ A(z; \theta, \kappa, \Psi_0^1, \Psi_0^3) $ を介して関連づけられ、アフィン構造のおかげで明示的に計算可能である。
• 本モデルは、短期金利およびスプレッドダイナミクス（相関を含む）のキャリブレーションが可能であり、アフィン要因の連合ダイナミクスを通じて実用的実装が可能である。