[論文レビュー] On multidimensional Bochner-Phillips functional calculus

А. Р. Миротин|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2019

advanced mathematical theories参考文献 8被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、可換な $C_0$-半群の生成作用素に対して、多変数のベルンシュタイン関数を用いた多次元関数計算を構築し、得られる作用素が正則半群を生成するための条件を確立し、1次元の場合のモーメント不等式を証明する。主な貢献は、半群生成作用素におけるモーメント型推定式における鋭い定数の特定である。

ABSTRACT

The functional calculus of semigroup generators, based on the class of Bernstein functions in several variables is developed, the condition for holomorphy of semigroups, generated by operators which arisen in the calculus is given, and in the one-dimensional case the moment inequality for such operators is proved.

研究の動機と目的

• 多変数ベルンシュタイン関数に基づく半群生成作用素の多次元関数計算を拡張・精緻化すること。
• 関数計算から生じる作用素が正則半群を生成するための条件を同定すること。
• 1次元の場合のモーメント不等式を確立し、[7]の結果を一般化すること。
• キシモトとロビンソンが提起した、一様凸なバナッハ空間における正則性に関する疑問に肯定的な答えを与えること。
• 特に、$\psi(A)$ が生成する半群の生成作用素の構造と性質を明確にすること。

提案手法

• 関数 $(-\infty,0)^n$ 上の $C^\infty$ 関数の族 $\mathcal{T}_n$ を用い、1階偏導関数が絶対単調であること。
• 多変数ベルンシュタイン関数 $\psi \in \mathcal{T}_n$ に対して積分表現 $\psi(s) = c_0 + c_1 \cdot s + \int_{\mathbb{R}_+^n \setminus \{0\}} (e^{s \cdot u} - 1) d\mu(u)$ を用いる。
• 関数計算を $x \in D(A)$ に対して $\psi(A)x = c_0 x + c_1 \cdot Ax + \int (T(u) - I)x d\mu(u)$ で定義する。
• 半群 $g_t(A)$ を $g_t(A)x = \int_{\mathbb{R}_+^n} T(u)x d\nu_t(u)$ で構成し、ここで $\nu_t$ は $e^{t\psi(s)} = \int e^{s \cdot u} d\nu_t(u)$ を満たす測度である。
• 多変数のベルンシュタイン＝ウィッデアの定理を適用し、$\nu_t$ の存在と一意性を保証する。
• $\{\nu_t\}$ が有界測度の畳み込み半群をなすことから、$g_t(A)$ が $C_0$-半群であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $\mathcal{T}_n$-計算により定義された作用素 $\psi(A)$ が正則半群を生成するための条件は何か？
• RQ2 1次元の場合におけるモーメント型不等式の鋭い定数は何か？
• RQ3 $\mathcal{T}_n$-計算は、一様凸なバナッハ空間における劣位半群の正則性とどのように関係するか？
• RQ4 半群 $g_t(A)$ の成長と、$\psi$ が原点付近でどのように振る舞うかとの正確な関係は何か？
• RQ5 関数計算を有界でない作用素へ拡張しても、生成作用素の性質を保てるか？

主な発見

• 閉包 $\psi(A)$ は $C_0$-半群 $g_t(A)$ の生成作用素であることが確認され、関数計算が適切に定義され、一貫性を有することが示された。
• 元の半群 $T_j(t)$ が正則であり、ある成長条件を満たすならば、半群 $g_t(A)$ も正則である。
• 1次元の場合には、$\|\psi(A)x\| \leq C_M \cdot \psi(-\|Ax\|/\|x\|) \cdot \|x\|$ を証明し、$C_M = (M+1)/(1 - e^{-(M+1)/M})$ が最良の定数であることを示した。
• $\psi \in \mathcal{T}_1$ が $(-\infty, 0)$ 上で有界ならば、すべての $A \in \text{Gen}(X)$ に対して $\psi(A)$ は有界である。逆に、すべての $A$ に対して $\psi(A)$ が有界ならば、$\psi$ は $(-\infty, 0)$ 上で有界でなければならない。
• 列 $\psi_n \in \mathcal{T}_1$ が $(-\infty, 0]$ 上で点状にゼロに収束するならば、すべての $x \in D(A)$ に対して $\psi_n(A)x \to 0$ となる。
• 関数計算は1次元の場合に古典的なボッホナー＝フィリップス計算と整合しており、多変数ベルンシュタイン関数を用いてそれを多次元へ拡張している。