[論文レビュー] On Multiple and Polynomial Recurrent extensions of infinite measure preserving transformations

Tom Meyerovitch|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2007

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、可逆な無限測度保存変換の測度保存拡張において、多重および多項式的再帰性が保存されることを証明する。条件付き測度とエルゴディック理論的技法を用いて、基本的変換が多重的または多項式的に再帰的であれば、その任意の拡張に対しても同様に再帰的であることが示され、有限測度エルゴディック理論の結果が無限測度設定に一般化される。

ABSTRACT

We prove that multiple-recurrence and polynomial-recurrence of invertible infinite measure preserving transformations are both properties which pass to extensions.

研究の動機と目的

• 無限測度空間における測度保存拡張において多重再帰性が保存されることを確立すること。
• 無限測度設定における基本系からその拡張への多項式的再帰性の拡張を達成すること。
• AaronsonおよびNakadaが提起した無限測度拡張における再帰に関する疑問を解決すること。
• 条件付き測度技法を用いて、有限測度再帰結果を無限測度系に一般化すること。
• 素数のようなゼロ密度集合を含む系における再帰の研究のための枠組みを提供すること。

提案手法

• 測度 $\mu = \mu \circ \pi^{-1}$ に基づき、$\nu$-ほとんど everywhere で定義される条件付き測度 $\mu_y$ を用いて、拡張 $X$ 内の集合と $Y$ 内のその射影との関係を確立する。
• スゼメレディの定理の有限版を用いて、基本系内での正の密度を有する集合における等差数列の検出を行う。
• Bergelson-Leibmanの多項式的再帰定理の有限版を用いて、$\mathbb{Z}^l$ の高密度部分集合内での多項式的構造の特定を行う。
• 任意の $y \in B_\epsilon$ に対して $\mu_y(A) > \epsilon$ となる正の測度を有する集合 $B_\epsilon \subset Y$ を構成し、再帰解析における一様下界を保証する。
• 多項式的軌道 $p_i(k) = \sum a_{i,j}k^j$ の構造を用いて、拡張写像 $\pi$ を介して、$T$ における再帰を $S$ における再帰に写像する。
• 測度論的議論を適用し、$\nu(\bigcap_{j=0}^M S^{-jn}B) > 0$ であれば、ある大きな部分集合 $E$ に対して $\mu(\bigcap_{j\in E} T^{-jn}A) > 0$ が成り立つことを示し、再帰を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限測度保存系における多重再帰性は、測度保存拡張においても保持されるか？
• RQ2 無限測度設定における基本変換からその測度保存拡張への多項式的再帰性の拡張は可能か？
• RQ3 無限測度系における再帰性の性質は、有限測度系のそれらとどの程度類似しているか？
• RQ4 無限測度の文脈において、再帰行動を基本系からその拡張へと一般化するメカニズムは存在するか？
• RQ5 正の密度を有する集合における多項式的構造の性質は、無限測度系の拡張においても保存されるか？

主な発見

• 可逆で多重再帰的な無限測度保存変換 $S$ に対して、$S$ の任意の測度保存拡張 $T$ もまた多重再帰的である。
• 可逆で多項式的再帰的な $S$ に対して、$S$ の任意の測度保存拡張 $T$ もまた多項式的再帰的である。
• 任意の $A \in \mathcal{B}$ に対して $\mu(A) > 0$ であれば、$\mu(\bigcap_{i=0}^d T^{-p_i(k)}A) > 0$ を満たす $k \neq 0$ が存在することを示し、$T$ における多項式的再帰性を確認した。
• $\nu(B_\epsilon) > 0$ かつすべての $y \in B_\epsilon$ に対して $\mu_y(A) > \epsilon$ となる集合 $B_\epsilon \subset Y$ の存在が、$S$ から $T$ への再帰の転送を可能にする。
• Bergelson-Leibman定理の適用により、十分大きな $N$ に対して、$r$ および $\overline{u}$ が存在し、$\overline{u} + \sum a_{i,j}r^j e_j \in E$ となることが保証され、拡張内での共通再帰時間の存在が導かれる。
• 多次元SzemerédiおよびBergelson-Leibmanの定理を用いることで、$\mathbb{Z}^d$-作用に対しても同様の結果が変更なしに一般化され、高次元ダイナミクスにおける堅牢性が確認された。