[論文レビュー] On Multiple Recurrence

Ilya D. Shkredov|ArXiv.org|Jun 21, 2004

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2つの可換な測度保存変換を持つ力学系におけるFurstenbergの多重再帰定理の定量的バージョンを確立する。Hausdorff型測度とエントロピーを含む新しい再帰関数を導入することで、ほとんどすべての点について、連立再帰時間は測度エントロピーの関数によって上から抑えられることを証明し、Z²における角のない集合の密度に対する明示的な上界を導出し、Szemerédi型問題における従来の対数型の上界を改善する。

ABSTRACT

Let X be a metric space with metric d and T,S be two commutative measure-preserving maps of X. In this paper we obtain numerical results about multiple recurrence of almost every point of this dynamical system. On other words we study the question about convergence to zero of max{d(T^n x,x), d(S^n x,x)}.

研究の動機と目的

• Furstenbergの多重再帰定理を2つの可換な測度保存変換を持つ系へ拡張すること。
• このような系における再帰時間の定量的バウンドを提供し、定性的なエルゴード的結果を改善すること。
• これらのバウンドを用いて、[1,N]²の2次元グリッドにおける角のない部分集合の最大密度を推定すること。
• 再帰理論を用いて、角のない集合の最大密度を測る関数L(N)の明示的な上界を導出すること。

提案手法

• 連続的かつ単調増加関数hを用いた、n·h(d(Sⁿx,x))とn·h(d(Rⁿx,x))のliminfを含む再帰関数C_{S,R}(x)を導入する。
• Hausdorff型測度H_hとε-エントロピーN_ε(X)を用いて、再帰集合の大きさを定量化する。
• 被覆補題（補題2.10）を適用し、両方の写像SとRがtステップ以内にYに戻らない点の集合Y(t)の測度を上から抑える。
• Stieltjes積分不等式（定理2.8）を確立し、再帰時間の分布と集合の測度との関係を結ぶ。
• コンパクトな距離空間上の不変測度の存在（補題2.11）を用いて、再帰フレームワークの適用可能性を保証する。
• 主な再帰バウンドをZ²における角問題に適用し、L(N)の定量的上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの可換変換を持つ系において、多重再帰がどの程度の速度で発生するか、定量的レートは何か？
• RQ2 測度論的・距離論的道具を用いて、連立軌道の再帰時間はどのように上から抑えられるか？
• RQ3 [1,N]²の部分集合に角の三つ組が存在しない場合、最大でどの程度の密度が達成可能であり、Nが増加するにつれてその密度はどの程度速く減少するか？
• RQ4 Furstenbergのエルゴード的再帰結果は、エントロピーまたはHausdorff測度の観点から明示的なバウンドをもたらすように強化可能か？
• RQ5 2つの可換写像の連立再帰挙動は、スパarsな集合における算術的構造の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、任意の集合A ⊆ [1,N]²が密度δ以上である場合、N ≥ exp(exp(exp(δ⁻ᶜ)))（絶対定数c > 0）ならば、Aは角の三つ組を含むことを証明している。
• L(N) ≤ 100 / log_*¹ᐟ⁴ N であることが確立され、角問題に対する以前のバウンドを改善している。
• 主な再帰結果により、L(N) ≪ 1 / (log log log N)^{C₁}（絶対定数C₁ > 0）が得られ、Furstenbergの定理の定量的バージョンが得られている。
• H_h(X) < ∞ かつ2つの可換写像S, Rをもつコンパクト距離空間Xに対して、ある点xが存在し、liminf_{n→∞} L⁻¹(n) · max{h(d(Sⁿx,x)), h(d(Rⁿx,x))} ≤ C（絶対定数C）を満たす。
• 関数C_{S,R}(x)はμ可積分であり、∫_A C_{S,R}(x) dμ ≤ H_h(A) を満たす。これは再帰の測度論的制御を提供する。
• グリッド[1,t]²上の被覆議論を用いて、tステップまで両方の写像が再帰を避ける点の集合Y(t)の測度μ(Y(t)) ≤ L(t) が導出される。