[論文レビュー] On Multivariate Optimal Transportation

Novin Ghaffari, Stephen G. Walker|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2次コストを伴う多次元最適輸送において、確率ベクトル間の最適カップリングが、それらの元となるコピュラ間の最適カップリングによって完全に決定されることを示している。アーチメデス型および楕円型コピュラに注目することで、取り扱い可能な解を得ており、コピュラにおける輸送問題の解法が、完全な多次元分布における問題の解法に十分であることを示している。

ABSTRACT

The Wasserstein distance, under a convex cost function, between random variables on $\mathbb{R}$ admits a simple, tractable solution. On the other hand, in higher dimensions, and even for the quadratic cost, the distance and associated optimal coupling, remains problematic, save for a few special cases. In this paper, we demonstrate that, in the case of quadratic cost, it is the underlying copula which drives optimal couplings. That is, if one has the optimal coupling between the two copulas of two multivariate random variables, then one has it between the two multivariate random variables. This motivates looking at optimal couplings between copula and indeed we find such for the class of Archimedean copula. The technique we use to do this is then developed to find optimal couplings between copulas associated with elliptical distributions.

研究の動機と目的

• 2次コストを伴う多次元最適輸送を計算するという長年の課題に取り組むこと。これは、特定のケースを除いて一般に取り扱い可能な解が存在しない。
• 特に2次コストの下で、コピュラが多次元最適輸送において果たす構造的役割を特定すること。
• コピュラ成分に注目することで、多次元分布間の最適カップリングを計算する一般的手法を開発すること。
• 統計学およびファイナンスで広く用いられるアーチメデス型および楕円型コピュラへこの手法を拡張すること。
• コピュラレベルでの輸送問題の解法が、完全な分布レベルでの解法をもたらすことを確立すること。計算を簡略化する。

提案手法

• 著者らは、2次コストの下で、多次元確率ベクトル間の最適カップリングが、それらのコピュラ間の最適カップリングにのみ依存することを確立している。
• 生成関数と従属構造を用いて、アーチメデス型コピュラのクラスにおける最適カップリングを導出している。
• 楕円型コピュラの対称性と径方向構造を活用し、変換技術を用いて最適カップリングを構築している。
• コピュラが周辺分布とは独立して従属構造を符号化することを活用し、輸送問題を分離可能としている。
• 解は、コピュラ空間で輸送問題を解き、それを元の分布空間に再び持ち上げることで構築されている。
• 重要な方程式には、2次コストを伴うウォッサーシュタイン距離の使用、および生成関数と径方向測度によるコピュラの表現が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次コストの下で、多次元分布間の最適カップリングは、それらのコピュラ間の最適カップリングに還元可能か？
• RQ2 2次コストの下で、アーチメデス型コピュラの最適カップリングの形は何か？
• RQ3 楕円型コピュラの構造的性質を活用して、最適カップリングをどのように構築できるか？
• RQ4 コピュラが多次元設定における最適輸送計画を完全に決定するまでの程度は何か？
• RQ5 コピュラレベルでの輸送問題の解法が、完全な分布に対するグローバル解をもたらすための条件は何か？

主な発見

• 2次コストを伴う多次元確率ベクトル間の最適カップリングは、それらのコピュラ間の最適カップリングによって完全に決定される。
• アーチメデス型コピュラでは、コピュラ生成関数と径方向対称性を用いて、明示的な最適カップリングが導出されている。
• 楕円型コピュラへは、球対称性および径方向構造を活用することで、取り扱い可能な解法に拡張可能である。
• コピュラレベルでの解法が、元の多次元分布に対する最適輸送計画を完全に決定する。
• 閉形式解が以前は得られなかった高次元設定において、最適カップリングを計算する一般枠組みを提供している。
• 結果から、コピュラに符号化された従属構造が、多次元設定における最適輸送の主要因であることが示された。