[論文レビュー] On N=2 supersymmetric gauge theories on S^2XS^2

Musema Sinamuli|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、半径が任意の値である $S^2 \times S^2$ 上に $\mathcal{N}=2$ スーパーユーザー理論を構築し、保存されるスーパーシンメトリー代数を $D(2,1,\alpha)$ と特定した。ここで $\alpha$ は半径の比である。スーパーシンメトリー固定点方程式を解き、特異性のない配置は各 $S^2$ 上の量子化された磁束によって特徴づけられ、連続的なモジュライは存在せず、点状のインスタントンおよび反インスタントンが極に局在化する supersymmetric であることが示された。

ABSTRACT

We construct a supergeometry based on S^2XS^2 on which four dimensional N=2 gauge theories can be placed supersymmetrically while preserving all supersymmetries. By embedding the supergeometry in four dimensional N=2 supergravity we are able to construct an arbitrary N=2 gauge theory on S^2XS^2. We show that N=2 gauge theories are invariant under the exceptional superalgebra D(2,1,alpha), where alpha is the ratio of the radii of the two S^2's. We solve the supersymmetry fixed points equations for a choice of supercharge in D(2,1,alpha). The solution of these BPS equations, which we find, would serve as the exact saddle point configurations of a localization computation of the partition function of N=2 gauge theories on S^2XS^2.

研究の動機と目的

• 任意の半径を持つ $S^2 \times S^2$ 上での $\mathcal{N}=2$ ゲージ理論の整合的なスーパーシンメトリー的背景を構築すること。
• 背景によって保存されるスーパーシンメトリー代数を特定し、それが $\alpha = \tilde{r}/r$ を用いて $D(2,1,\alpha)$ であることを示すこと。
• D(2,1,\alpha) 内の特定のスーパーチャージに対してスーパーシンメトリー固定点方程式を解き、局在化のための正確な鞍点を同定すること。
• この曲がった背景上でのスーパーシンメトリー場の配置構造、特にインスタントンおよび反インスタントンの構造を分析すること。

提案手法

• 特定のヴィエルビンと $\gamma$-行列基底を用いて $S^2 \times S^2$ 上のキリングスピンォ方程式を導出し、$\mathcal{N}=2$ スーパーシンメトリーと整合することを保証する。
• 非オフシェル・スーパーグラビティ multiplet の場の配置を解くことにより、背景を $\mathcal{N}=2$ スーパーグラビティに埋め込む。
• 例外的スーパーアルゲブラ $D(2,1,\alpha)$ を理論の対称性代数として特定し、$\alpha$ を二つの $S^2$ の半径比によって決定する。
• キリングスピンォを用いて、$S^2 \times S^2$ 背景上での物質 multiplet のスーパーシンメトリー変換を構築する。
• D(2,1,\alpha) 内の特定のスーパーチャージに対して固定点方程式を解き、ゲージ場および物質場に制約を課す。
• 固定点方程式をステレオグラフィック座標で表現し、多様体全体にわたるキリングスピンォの非特異性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^2 \times S^2$ 上の $\mathcal{N}=2$ ゲージ理論が、異なる半径を持つ場合に保存するスーパーシンメトリー代数は何か？
• RQ2 $S^2 \times S^2$ 上でスーパーシンメトリーを保存する正確な場の配置は何か、そしてそれらはどのように分類されるか？
• RQ3 インスタントンおよび反インスタントン配置は $S^2 \times S^2$ 上でスーパーシンメトリー的であるか？ もしそうなら、どこに局在化するか？
• RQ4 キリングスピンォは $S^2 \times S^2$ 上でどのようにグローバルに振る舞い、等長群の下でどのように変換するか？
• RQ5 $D(2,1,\alpha)$ スーパーアルゲブラは、スーパーシンメトリー multiplet と固定点解を整理するために果たす役割は何か？

主な発見

• 理論は例外的スーパーアルゲブラ $D(2,1,\alpha)$ を保存し、ここで $\alpha = \tilde{r}/r$ は二つの $S^2$ 要素の半径比である。
• 特異性のないスーパーシンメトリー的場の配置は、各 $S^2$ 上の量子化された磁束によって分類され、連続的なモジュライ空間は存在しない。
• 点状のインスタントンおよび反インスタントンはスーパーシンメトリー的であり、$S^2 \times S^2$ の極に局在化しており、固定点方程式と整合的である。
• キリングスピンォは $S^2 \times S^2$ 全体でグローバルに非特異的であり、$SU(2)_1 \times SU(2)_2 \times SU(2)_R$ の $(2,2,2)$ 表現に変換する。
• 固定点方程式はステレオグラフィック座標において、ゲージ場の強さとスカラー成分に依存する連立微分方程式に簡略化される。
• 場の配置は $F_{\hat{0}\hat{1}} = \frac{1}{\tilde{r}} \text{Re}(X)$ および $F_{\hat{2}\hat{3}} = \frac{1}{r} \text{Im}(X)$ を満たし、スカラー期待値を用いた磁束の量子化を示している。