[論文レビュー] On $(N(k),\xi)$-semi-Riemannian manifolds: Semisymmetries

Mukut Mani Tripathi, Punam Gupta|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体を導入し、${\rm T}_a$、${\rm W}_i$、${\rm W}_j^*$ などのさまざまな曲率テンソルの半対称性の性質を調査する。代数的条件のもとで、$\rho$-${\rm T}_a$-平坦な$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体が$\rho$-アインシュタインであることを確立し、$(\rho_a, S_{\rho_b})$-半対称な多様体を分類し、それがアインシュタイン的であるか定曲率を持つことを示している。

ABSTRACT

$(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are defined. Examples and properties of $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are given. Some relations involving ${\\cal T}_{a}$-curvature tensor in $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are proved. $\\xi $-${\\cal T}_{a}$-flat $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are defined. It is proved that if $M$ is an $n$-dimensional $\\xi $-${\\cal T}_{a}$-flat $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifold, then it is $\\eta $-Einstein under an algebraic condition. We prove that a semi-Riemannian manifold, which is $T$-recurrent or $T$-symmetric, is always $T$-semisymmetric, where $T$ is any tensor of type $(1,3)$. $({\\cal T}_{a}, {\\cal T}_{b}) $-semisymmetric semi-Riemannian manifold is defined and studied. The results for ${\\cal T}_{a}$-semisymmetric, ${\\cal T}_{a}$-symmetric, ${\\cal T}_{a}$-recurrent $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are obtained. The definition of $({\\cal T}_{a},S_{{\\cal T}_{b}})$-semisymmetric semi-Riemannian manifold is given. $({\\cal T}_{a},S_{{\\cal T}_{b}})$-semisymmetric $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are classified. Some results for ${\\cal T}_{a}$-Ricci-semisymmetric $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are obtained.

研究の動機と目的

• 接触計量構造およびササキアン構造の一般化として、$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体を定義し、その性質を研究すること。
• $(N(k),\rho)$-多様体の文脈において、${\rm T}_a$、${\rm W}_i$、${\rm W}_j^*$ などのさまざまな曲率テンソルを含む半対称性条件を分析すること。
• $\rho$-${\rm T}_a$-平坦性が$\rho$-アインシュタイン構造を意味する条件を確立し、特に代数的制約のもとで考察すること。
• $(\rho_a, S_{\rho_b})$-半対称な$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体を分類し、その幾何的特徴づけを明らかにすること。
• ${\rm W}_1^*$、${\rm W}_2$、など複数の曲率テンソルに対するリッチ-半対称性を調査し、特別な場合におけるリッチテンソルの明示的表現を導出すること。

提案手法

• $N(k)$-接触計量および$\rho$-ササキアン多様体の一般化として、$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体構造を導入すること。
• ${\rm T}_a$-曲率テンソルを、共形的、準共形的、射影的タイプを含む一般化された曲率テンソルとして定義すること。
• $(1,3)$型テンソル$T$に対して、半対称性条件$R(X,Y)\nabla T = 0$を適用し、$T$-再帰的または$T$-対称な多様体が常に$T$-半対称であることを証明すること。
• $(\rho_a, S_{\rho_b})$-半対称性条件を導入し、$S_{\rho_b}$ を$\rho_b$ に関連するリッチテンソルとする。構造的制約を導出すること。
• $(N(k),\rho)$-多様体における代数的恒等式および曲率関係を用いて、さまざまな${\rm W}_i$-テンソルに対するリッチ-半対称性のもとでのリッチテンソル$S$ の明示的公式を導出すること。
• 接触計量幾何およびササキアン幾何における既知の幾何的恒等式を適用し、特別な場合（例：$k=1$、$\rho$-ササキアン）における曲率表現を簡略化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的制約のもとで、$\rho$-${\rm T}_a$-平坦な$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体が$\rho$-アインシュタインであるのはどのような条件下か？
• RQ2 $(\rho_a, S_{\rho_b})$-半対称な$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体はどのように分類されるか？
• RQ3 ${\rm T}_a$-半対称な$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体が、常に${\rm T}_a$-平坦または定曲率を持つとは限らないが、どのような条件下でそうなるか？
• RQ4 $N(k)$-接触計量、ササキアン、ケンモツ多様体における${\rm W}_i$-リッチ-半対称性のもとで、リッチテンソルの表現はどのように変化するか？
• RQ5 異なる曲率テンソル${\rm T}_a$ に対して、$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体が$\rho$-${\rm T}_a$-平坦であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• $n$次元の$\rho$-${\rm T}_a$-平坦な$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体は、リッチテンソルと曲率テンソルの間の代数的条件が成立する場合、$\rho$-アインシュタインである。
• ${\rm T}_a$-半対称な$(N(k),\rho)$-半リーマン多様体は、曲率テンソル${\rm T}_a$ に応じて、$\rho$-アインシュタインであるか定曲率を持つ。
• ${\rm W}_1^*$-リッチ-半対称な多様体では、$N(k)$-接触計量多様体では$S = k(n-1)g$、ササキアン多様体では$S = (n-1)g$、ケンモツ多様体では$S = - (n-1)g$ を満たす。
• ${\rm W}_4$-リッチ-半対称な多様体では、ササキアン多様体において$S^2 = (n-1)S - (n-1)^2g + (n-1)^2\theta \theta$ を満たす。
• ${\rm W}_9$-リッチ-半対称な多様体では、リッチテンソルは$\theta \theta$ に比例し、$N(k)$-接触計量多様体では$S = k(n-1)\theta \theta$、ササキアン多様体では$S = (n-1)\theta \theta$ となる。
• $(\rho_a, S_{\rho_b})$-半対称性条件は、曲率タイプおよび$\rho$ の構造に応じて、このような多様体がアインシュタイン的であるか定曲率を持つことにより分類される。