[論文レビュー] On natural invariant measures on generalised iterated function systems

Antti Käenmäki|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 65

ひとこと要約

本論文は、円筒関数を用いた一般化 IFS に対する t-平衡不変測度の存在を証明し、エルゴード性を証明し、平衡次元をリミット集合の Hausdorff 次元と結びつける。自己相似・自己共形・およびほぼ全ての自己アフィンの場合への適用を示す。

ABSTRACT

We consider the limit set of generalised iterated function systems. Under the assumption of a natural potential, the so called cylinder function, we prove the existence of the invariant probability measure satisfying the equilibrium state. We motivate this approach by showing that for typical self-affine sets there exists an ergodic invariant measure having the same Hausdorff dimension as the set itself.

研究の動機と目的

• 一般化された反復写像系（IFS）へ熱力学的形式化を動機づけ、一般化する。
• 円筒関数の定義とトポロジカル圧力を定義し、不変測度と平衡状態を研究する。
• t-平衡測度の存在とエルゴード性を確立し、平衡次元を Hausdorff 次元に関連付ける。
• 幾何射影による極限集合への射影を検討し、分離条件と次元境界を研究する。
• フレームワークを相似・共形・アファイン IFS に特化し、Hausdorff 次元への含意を論じる。

提案手法

• 記号空間 I^∞ 上の円筒関数 psi_i^t を導入し、エネルギー E_mu(t) とエントロピー h_mu を定義する。
• トポロジカル圧力 P(t) を定義し、一般化サブ加法性を用いて t-平衡測度の存在を証明する。
• アフィン写像の性質と Choquet の定理を用いて平衡測度のエルゴード性を証明する。
• 射影フレームワーク pi: I^∞ → X を構築し、極限集合 E を得て bi-Lipschitz 条件と分離条件を用いて Hausdorff 次元を研究する。
• 幾何学的に安定な IFS（OSC/SSC）へフレームワークを適用し、重要な場合に平衡次元と Hausdorff 次元の等値を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 円筒関数を用いた一般化 IFS で、平衡状態を達成する不変確率測度の存在を保証できるか？
• RQ2 得られる平衡測度はエルゴード性を持ち、圧力 P(t) の零点に対応する全平衡次元（dim_ψ）を持つか？
• RQ3 記号空間の幾何射影が極限集合の Hausdorff 次元にどのように影響し、どの分離条件の下でそれを境界付けられるか？
• RQ4 相似 IFS および共形 IFS は、平衡測度の次元が極限集合の Hausdorff 次元に一致するか、またほぼ全ての自己アファイン IFS についてはどうか？
• RQ5 幾何的に安定な IFS 条件（境界を超えた重なりの有界性、bi-Lipschitz 境界）が、平衡次元と幾何学的次元を結びつける上でどのような役割を果たすか？

主な発見

• 一般化サブ加法性の下で円筒関数の t-平衡測度の存在。
• t-平衡測度はエルゴード性をもち、P(t)=0 で全平衡次元（dim_ψ）を実現する。
• 幾何学的に安定な IFS では、bi-Lipschitz 定数と分離条件から極限集合の自然な上界・下界を得る。
• 相似 IFS および共形 IFS の場合、平衡測度の Hausdorff 次元は極限集合の Hausdorff 次元に等しい。
• ほぼ全ての自己アファイン IFS において、平衡次元は極限集合の Hausdorff 次元に一致し、自己アファイン集合の既知の結果と整合する。
• このフレームワークは自己相似・自己共形・一般的な自己アファイン系の既知の結果を回復・拡張する。