[論文レビュー] On natural join of posets properties and first applications

A. K. Kwaśniewski|ArXiv.org|Aug 10, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、部分順序集合（posets）における新しい自然結合演算 $P \oplus\!\to Q$ を導入し、これによりコブウェブposetおよびそのハッセ図（KoDAGs）の先行研究の構成を統一的かつ一般化する。共有される部分posetにおける同型性の適合を課すことにより、この演算はコブウェブposetのモビウス関数の公式の単純な導出を可能にするとともに、ミュート頂点のないすべての階層的posetがユニバーサル関係の鎖の自然結合であることを示し、クヌース記法を用いてゼータ行列およびモビウス行列の明示的公式を導出する。

ABSTRACT

In addition to the three standard operations on posets which are dual of poset or ordinal and cardinal sums of partial ordered sets one adds the natural join of posets. This is especially natural natural join operation for graded posets including very special and important the so called cobweb posets. The main aims of this article are the presentation of the authors update applications of natural join of posets in the domain of graded posets and summary of the general properties of natural join of posets with posing some questions arising on the way. Thus in this note apart from revealing some general properties of natural join of posets we also deliver the authors combinatorial interpretations of cobweb posets including discrete hyperboxes coding of the so called cobweb posets .Various explicit formulas for the zeta functions and zeta matrices as well as the inverse of zeta matrix for any graded posets are supplied. Whitney numbers formulas and those for characteristic polynomials are given too.

研究の動機と目的

• posetにおける自然結合演算 $P \oplus\!\to Q$ を形式化・一般化し、同型部分posetを介した適合性を保証する。
• コブウェブposetおよびそのハッセ図（KoDAGs）を、ユニバーサル関係の鎖の自然結合として統一的に構成するフレームワークを提供する。
• クヌース記法を用いて、特にコブウェブposetを含む階層的posetのゼータ行列およびモビウス行列の明示的公式を導出する。
• コブウェブposetがN自由であること、系列-並列であること、グリーディであること、次元が2であることの証明を行い、構造的およびアルゴリズム的性質を明確にする。
• KoDAGおよびコブウェブposetのタイリング、可逆性、構造的性質に関する未解決問題を提示する。

提案手法

• 同型部分poset $R \subseteq P$ および $R' \subseteq Q$ 上の部分順序が同等であるように、自然結合 $P \oplus\!\to Q$ を定義し、$R$ と $R'$ を同一視する。
• 各レベル $\Phi_k$ のサイズが $k_F$ である $r$-項ユニバーサル関係の鎖として、コブウェブposetを表現する。これは、$k \geq 0$ における列 $F = \{k_F\}_{k \geq 0}$ で符号化される。
• クヌース記法および逆さ記法（$F_n \equiv n_F$）を用いて、階層的posetのゼータ行列およびモビウス行列の公式を表現する。
• 自然結合を用いて、ミュート頂点のない階層的posetを二項完全（ユニバーサル）関係の鎖に分解し、共通の面を射影することでKoDAGを構成する。
• 自然結合構造および行列補完を用いて、コブウェブposetのウィットニー数および特性多項式の明示的公式を導出する。
• 系列-並列およびグリーディposetに関する既知の結果を活用し、コブウェブposetがN自由であり、次元が2であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然結合が同型部分poset上での順序同等性を保つように、posetの自然結合を形式的に定義する方法は何か？ その基礎的性質は何か？
• RQ2 自然結合が、コブウェブposetのモビウス関数公式の導出をどのように単純化するか？
• RQ3 ミュート頂点のないすべての階層的posetは、ユニバーサル関係の鎖の自然結合として表現可能か？ これはそのハッセ有向グラフ構造とどのように関係するか？
• RQ4 自然結合演算とposetの次元、あるいはフェルファーズ次元との関係は何か？ 特にコブウェブposetの文脈において。
• RQ5 コブウェブposエットは可逆か？ グリーディおよび最適な線形拡張の文脈で、可逆性を決定づける条件は何か？

主な発見

• 自然結合 $P \oplus\!\to Q$ は自然結合適合条件を満たし、同型部分poset上での順序適合性を保証する。これにより、コブウェブposetの統一的構成が可能になる。
• コブウェブposetがN自由であり、系列-並列であることの証明がなされ、これはグリーディposetであり、次元が2であることを示唆する。
• 自然結合演算を用いることで、コブウェブposetのモビウス関数公式が単純かつ直接的に導出される。
• クヌース記法および行列補完を用いて、任意の階層的posetについてゼータ行列およびその逆行列（モビウス関数による）の明示的公式が提供される。
• ミュート頂点のないすべての階層的poset（すなわち、入次数または出次数が0である内部頂点を持たないposet）が、ユニバーサル関係の鎖の自然結合であることが示された。
• コブウェブposetおよびそのハッセ有向グラフ（KoDAG）は離散的ハイパーボックスによって符号化され、このようなハイパーボックスの自然結合は、共通面の射影を伴う直積に等しい。