[論文レビュー] On necessary and sufficient conditions for finite element convergence

Václav Kučera|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$H^1(\Omega)$ 内での $O(h^\alpha)$ 収束について、最初の非自明な必要条件を確立した。これは、最大角が $\pi$ に近づく交互なパターンを示す、劣化要素のバンドにかかる幾何的制約を特定するものである。また、十分条件を一般化し、劣化要素が最大角頂点が孤立しているか、小さなクラスタを形成する場合に限り許容可能であることを示し、収束の完全な特徴付けに向けたギャップを狭めた。

ABSTRACT

In this paper we derive a necessary condition for finite element method (FEM) convergence in $H^1(Ω)$ as well as generalize known sufficient conditions. We deal with the piecewise linear conforming FEM on triangular meshes for Poisson's problem in 2D. In the first part, we prove a necessary condition on the mesh geometry for $O(h^α)$ convergence in the $H^1(Ω)$-seminorm with $α\in[0,1]$. We prove that certain structures, bands consisting of neighboring degenerating elements forming an alternating pattern cannot be too long with respect to $h$. This is a generalization of the Babu\v ska-Aziz counterexample and represents the first nontrivial necessary condition for finite element convergence. Using this condition we construct several counterexamples to various convergence rates in the FEM. In the second part, we generalize the maximum angle and circumradius conditions for $O(h^α)$ convergence. We prove that the triangulations can contain many elements violating these conditions as long as their maximum angle vertexes are sufficiently far from other degenerating elements or they form clusters of sufficiently small size. While a necessary and sufficient condition for $O(h^α)$ convergence in $H^1(Ω)$ remains unknown, the gap between the derived conditions is small in special cases.

研究の動機と目的

• Piecewise linear conforming finite element method が $H^1(\Omega)$ 内で $O(h^\alpha)$ 収束するための、自明な $h \to 0$ の要件を超えた最初の非自明な必要条件を特定すること。
• 最大角条件や外接円半径条件といった既存の十分条件を一般化し、制御された幾何的配置下での劣化要素の許容を可能にする。
• 離散有限要素空間の $H^1$-セミノルムにおける近似性質を分析することで、必要条件と十分条件のギャップを埋めること。
• 非収束または最適でない収束率を示す反例を構築し、Babuška-Aziz の反例を最適形式で回復すること。
• 補正関数と変更されたラグランジュ補間を用いて、劣化要素を含むメッシュ上でのグローバルに連続な補間関数の構築フレームワークを構築すること。

提案手法

• 最大角が交互な「ジグザグ」パターンを示す、辺で接続された隣接三角形の集合（「バンド」）の概念を導入し、バンド全体にわたる勾配の伝播を可能にする。
• バンド $\mathcal{B}$ 上での $H^1$-セミノルム誤差 $|u - U|_{H^1(\mathcal{B})}$ の下界を導出し、バンドが十分に長いか（$L \geq C_L h^{2\alpha/5}$）、かつ最大角が十分に速く $\pi$ に近づく場合、誤差が無限大に発散し、$O(h^\alpha)$ 収束に矛盾することを示した。
• この矛盾を用いて、必要条件を導出：最大角が交互に $\pi$ に近づく劣化要素のバンドは、$h \to 0$ のとき $O(h^{2\alpha/5})$ 未満の長さに制限されなければならない。
• メッシュを ${\cal T}_h^1$（最大角条件を満たす領域）と ${\cal T}_h^2$（満たさない領域）に分割し、${\cal T}_h^1$ では標準ラグランジュ補間、${\cal T}_h^2$ では $O(h_K^2)$ の摂動を持つ修正補間を用いることで、十分条件を一般化した。
• ${\cal T}_h^2$ 上の不連続な修正補間関数を補正するための補正関数を導入し、$O(h^\alpha)$ の誤差を持つグローバルに連続な補間関数の構築を可能にした。
• ${\cal T}_h^2$ 内の劣化要素は、最大角頂点が他の同様の頂点から十分に離れている、または直径 $O(h^{1/2})$ のクラスタを形成する限り、許容可能であることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Piecewise linear FEM が $H^1(\Omega)$ 内で $O(h^\alpha)$ 収束するための、劣化要素のバンドにかかる幾何的制約は何か？
• RQ2 最大角条件および外接円半径条件を、制御された空間的配置下での劣化要素の許容を可能にするように一般化できるか？
• RQ3 三角形分割において、劣化要素をどの程度許容できるか？収束性が保たれる範囲は？
• RQ4 特定のメッシュ幾何構造下で非収束または最適でない収束率を示す反例を構築できるか？
• RQ5 最大角条件を満たさない劣化要素を含むメッシュ上でも、グローバルに連続な補間関数をどのように構築できるか？

主な発見

• 最初の非自明な必要条件が得られた：最大角が交互に $\pi$ に近づく劣化要素のバンドは、$O(h^{2\alpha/5})$ 未満の長さに制限されなければならない。
• 複数のバンドが $L \times L$ のクラスタを形成する場合、必要条件では $L \leq C_L h^{2\alpha/5}$ が必要だが、十分条件では $L \leq C_L h^{\alpha/2}$ まで許容可能であり、$h^{\alpha/10}$ のオーダーのギャップが生じる。
• Babuška-Aziz の反例が回復され、最適な解析により、劣化の速度を調整することで、任意の $\alpha < 1$ に対して非収束または $O(h^\alpha)$ 収束を実現可能であることが示された。
• 最大角条件を満たさない劣化要素は、その最大角頂点が他の同様の頂点から十分に離れている、または直径 $O(h^{1/2})$ のクラスタを形成する限り、メッシュに含めることができる。
• 補正関数の新規構成により、局所的補間の $O(h_K^2)$ の摂動がある場合でも、$O(h^\alpha)$ の誤差を持つグローバルに連続な補間関数を構築可能である。
• 補間関数がグローバルに線形でない領域のサイズが重要であることが分析で示された。収束には $O(h^{0.5\alpha})$ が十分で、$O(h^{0.4\alpha})$ が必要である。