[論文レビュー] On necessary and sufficient conditions for $L^p$-estimates of Riesz transforms associated to elliptic operators on $\RR^n$ and related estimates

Pascal Auscher|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2005

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 29被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 上の第二順階楕円型作用素の発散型形式に関連するリーマン変換および関連作用素（例えば、平方関数、半群）の $L^p$-有界性について、必要十分条件を確立する。半群とその勾配に起因する4つの臨界指数を導入し、これらの作用素が有界となる $p$ の範囲を完全に特定する。これにより、従来の結果を統合・拡張し、特に $p<2$ と $p>2$ の場合を区別するための新しい $L^p$-有界性基準を用いて、両者の違いを明らかにする。

ABSTRACT

This article focuses on $L^p$ estimates for objects associated to elliptic operators in divergence form: its semigroup, the gradient of the semigroup, functional calculus, square functions and Riesz transforms. We introduce four critical numbers associated to the semigroup and its gradient that completely rule the ranges of exponents for the $L^p$ estimates. It appears that the case $p&lt;2$ already treated earlier is radically different from the case $p&gt;2$ which is new. We thus recover in a unified and coherent way many $L^p$ estimates and give further applications. The key tools from harmonic analysis are two criteria for $L^p$ boundedness, one for $p&lt;2$ and the other for $p&gt;2$ but in ranges different from the usual intervals $(1,2)$ and $(2,\infty)$.

研究の動機と目的

• 楕円型作用素の発散型形式に関連するリーマン変換および関連作用素（例えば、平方関数、半群）の $L^p$-有界性の必要十分条件を特定すること。
• 半群とその勾配に由来する4つの臨界指数を導入し、それらが関連作用素の $L^p$-有界性が成立する $p$ の範囲を支配することを示し、従来の $L^p$-推定を統合・拡張すること。
• $p<2$ と $p>2$ の場合の違いを解明し、後者に特有の根本的な新規性があり、異なる解析的道具が必要であることを示すこと。
• 標準的な区間 $(1,2)$ および $(2,\infty)$ の外側に成立する新しい $L^p$-有界性基準（$p<2$ 用と $p>2$ 用）を用いて、一貫した枠組みを提供すること。

提案手法

• 半群 $e^{-tL}$ 及びその勾配 $\nabla e^{-tL}$ に由来する4つの臨界指数を導入し、関連作用素の $L^p$-有界性範囲を決定する。
• $(1,2)$ および $(2,\infty)$ の古典的区間とは異なる範囲で有効な、$p<2$ 用と $p>2$ 用の2つの新しい $L^p$-有界性基準を適用する。
• 非対角的 $L^2$ 評価および $L^2$ 上の正則関数計算を用いて、平方関数およびリーマン変換の評価を導出する。
• 良いラムダ不等式およびソボレフ関数に適応されたキャリラー・ツィムンド分解技術を用いて、勾配の弱型挙動を制御する。
• 超収縮性および $W^{1,p}$ 楕円型評価を用いて、半群の挙動と勾配およびリーマン変換の $L^p$-有界性を結びつける。
• カト図およびハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ評価を用いて、関数計算と $L^p$-有界性の相関を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の発散型形式の楕円型作用素 $L$ に対して、リーマン変換 $\nabla L^{-1/2}$ の $L^p$-有界性の必要十分条件は何か？
• RQ2 $p>2$ と $p<2$ の場合におけるリーマン変換の有界性が成立する $p$ の範囲はどのように異なり、その二分法的差異はどのように説明できるか？
• RQ3 半群とその勾配に由来する4つの臨界指数は、関連作用素の $L^p$-推定の全範囲を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 古典的カルデロン＝ジムンド理論を超えた新しい基準を用いて、$p \neq 2$ の範囲で平方関数および関数計算の $L^p$-有界性を一様に特徴づけることは可能か？
• RQ5 新しい $L^p$-有界性基準（$p<2$ 用と $p>2$ 用）は、標準的な $L^p$-理論と比較して、構造的・応用的側面でどのように異なるか？

主な発見

• 本稿は、半群 $e^{-tL}$ およびその勾配 $\nabla e^{-tL}$ に関連する4つの臨界指数を特定し、リーマン変換、平方関数、および関連作用素の $L^p$-推定が成立する $p$ の範囲を完全に決定する。
• $p>2$ の場合、古典的 $(2,\infty)$ 区間とは異なる範囲で有効な新しい $L^p$-有界性基準を用いて、リーマン変換 $\nabla L^{-1/2}$ の $L^p$-有界性を確立し、従来の結果を顕著に拡張する。
• 垂直平方関数 $G_L(f)$ の $L^p$-有界性は、4つの臨界指数を含む必要十分条件によって特徴づけられ、既知の $L^2$ 結果を一般化する。
• リーマン変換 $\nabla L^{-1/2}$ が $L^p$ に有界であることは、$p$ が臨界指数で定義される区間内にあることに同値であり、$p<2$ と $p>2$ の場合にそれぞれ異なる基準が支配する。
• 本稿は、適切な範囲内の $p$ に対して $\|L^{1/2}f\|_{L^p} \sim \|\nabla f\|_{L^p}$ が成り立つことを証明し、古典的 $L^2$ 結果を $L^p$ バージョンのカトの予想として確認し、拡張する。
• ソボレフ関数に適応されたキャリラー＝ツィムンド分解の手法を用いて、$L^p$-Poincaré 不等式および非滑らか係数の文脈における勾配の $L^p$-有界性の証明が可能になる。