[論文レビュー] On Neighbourhood Zagreb index of product graphs

Sourav Mondal, Nilanjan De+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Graph theory and applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、分子グラフのための新しい次数に基づくトポロジー指数であるNeighbourhood Zagreb指数（Mₙ）を導入し、直積、テンソル積、ワイヤード積グラフにおけるMₙの正確な式を導出する。オクタン異性体において、エントロピー（r = -0.95261）および非対称因子（r = -0.99456）と強い相関を示し、QSPR研究における高い予測能力と低減少数性を示しており、化学的構造-性質モデリングおよびドラッグデザインのための有望なツールであることが示された。

ABSTRACT

There is powerful relation between the chemical behaviour of chemical compounds and their molecular structures. Topological indices defined on these chemical molecular structures are capable to predict physical properties, chemical reactivity and biological activity. In this article, a new topological index named as Neighbourhood Zagreb index $(M_N)$ is presented. Here the chemical importance of this newly introduced index is studied and some explicit results for this index of different product graphs such as Cartesian, Tensor and Wreath product is derived. Some of these results are applied to obtain the Neighbourhood Zagreb index of several chemically important graphs and nano-structures.

研究の動機と目的

• 頂点vの隣接頂点の次数の和であるδ_G(v) = Σᵤ∈N_G(v) deg_G(u)に基づき、Mₙ(G) = Σₙ∈V(G) [δ_G(v)]²として定義される、新しいトポロジー指数であるNeighbourhood Zagreb指数（Mₙ）の化学的意義を導入し、検討すること。
• 直積、テンソル積、ワイヤード積の3つの主要なグラフ積演算におけるMₙの正確な解析的式を導出すること。
• 得られた式を用いて、パス、サイクル、完全グラフ、フェンス型構造を含む、化学的に重要なグラフおよびナノ構造物におけるMₙの計算を実施すること。
• オクタン異性体を用いた定量的構造-性質相関（QSPR）モデリングにおいて、Mₙの構造識別能力および予測精度を評価すること。

提案手法

• 頂点vの隣接頂点の次数の和δ_G(v) = Σᵤ∈N_G(v) deg_G(u)を用い、Mₙ(G) = Σₙ∈V(G) [δ_G(v)]²としてNeighbourhood Zagreb指数を定義する。
• グラフ積の定義（直積G₁□G₂、テンソル積G₁×G₂、ワイヤード積G₁[G₂]）を用い、成分グラフの不変量に基づいてMₙの式を導出する。
• 既知のグラフ不変量（M₁（第一Zagreb指数）、M₂（第二Zagreb指数）、サイズ|E|、次数|V|）を導出式に組み込む。
• 組み合わせ的合計技法および代数的変形を用い、積グラフの頂点集合全体にわたる、近隣次数の二乗和を展開・簡略化する。
• 分子記述子.euから入手可能なオクタン異性体データセットを用いて回帰分析を実施し、エントロピーおよび非対称因子との相関係数を計算することで、指標の妥当性を検証する。
• 平均異性体減少数（d = n/t）を用いて、構造識別能力を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オクタン異性体において、Neighbourhood Zagreb指数（Mₙ）は、エントロピーおよび非対称因子といった主要な物理化学的性質とどの程度相関を示すか？
• RQ2 2つのグラフの主なグラフ積演算（直積、テンソル積、ワイヤード積）に対して、Mₙの正確な閉形式式を導出できるか？
• RQ3 Mₙは、既存のトポロジー指数と比較して、構造異性体を区別する能力に優れているか？
• RQ4 Mₙは、パス、サイクル、完全グラフ、フェンス型グラフを含む化学的に重要なグラフやナノ構造物に対して、どのようにして指数を計算できるか？
• RQ5 Mₙの高い予測精度と低減少数性を踏まえ、QSPR/QSARモデリングおよびドラッグデザインにおける潜在的応用可能性は何か？

主な発見

• オクタン異性体において、Neighbourhood Zagreb指数（Mₙ）は非対称因子（r = -0.99456）およびエントロピー（r = -0.95261）と非常に強い負の相関を示し、エントロピーの決定係数r²は0.98915、非対称因子のr²は0.90746である。
• Mₙ指数は低減少数性を示しており、オクタン異性体の平均異性体減少数（d）は1.0であり、全18種の構造異性体を一意に区別できることを示している。
• 直積におけるMₙの正確な式は、最小次数≥2を満たすグラフに対して、Mₙ(G₁□G₂) = Mₙ(G₁)Mₙ(G₂)として成立する。
• ワイヤード積G₁[G₂]においては、Mₙ(G₁[G₂]) = |V₂|⁴Mₙ(G₁) + Mₙ(G₂) + 12|V₂||E₂|²M₁(G₁) + 8|E₁||E₂|M₁(G₂) + 8|V₂|²|E₂|(|V₂|+1)M₂(G₁) + 8|V₂||E₁|M₂(G₂) + 3|V₂|²M₁(G₁)M₁(G₂) が成り立つ。
• 明示的な計算により、Mₙ(Pₙ□Pₘ) = (16n−38)(16m−38)（n,m ≥ 4）、Mₙ(Cₙ□Cₘ) = 256mn、およびMₙ(Pₙ[P₂]) = 864n−1694（n ≥ 4）が得られた。
• Mₙは複雑なナノ構造物に対しても正しく計算可能であり、Mₙ(Cₙ[P₂]) = 816n+2（n ≥ 3）が得られ、これは閉じたフェンス型グラフに対応する。