[論文レビュー] On non-abelian homomorphic public-key cryptosystems

D. Grigoriev, Ilia Ponomarenko|ArXiv.org|Jul 23, 2002

Cryptography and Data Security参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限生成群 G から有限可解群 H へのエピモルフィズムを活用することで、非アーベルなホモモルフィック公開鍵暗号方式を初めて構築した。すべての有限可解で自明でない群が、このような暗号方式を支える群のクラスに属することを確立し、アーベル群に限られていたホモモルフィック暗号を非アーベルな代数的構造へと拡張し、秘密計算を可能にした。

ABSTRACT

An important problem of modern cryptography concerns secret public-key computations in algebraic structures. We construct homomorphic cryptosystems being (secret) epimorphisms f:G --> H, where G, H are (publically known) groups and H is finite. A letter of a message to be encrypted is an element h element of H, while its encryption g element of G is such that f(g)=h. A homomorphic cryptosystem allows one to perform computations (operating in a group G) with encrypted information (without knowing the original message over H). In this paper certain homomorphic cryptosystems are constructed for the first time for non-abelian groups H (earlier, homomorphic cryptosystems were known only in the Abelian case). In fact, we present such a system for any solvable (fixed) group H.

研究の動機と目的

• アーベル群に限られていた先行研究を拡張し、非アーベル群上で秘密計算を可能にするホモモルフィック公開鍵暗号方式を開発すること。
• 平文群 H が非アーベルかつ有限であるようなホモモルフィック暗号方式を構築する課題に取り組み、安全性と計算可能性の両立を確保すること。
• すべての有限可解で自明でない群が、このような暗号方式を支持することを証明し、ホモモルフィック暗号に適した群のクラスを拡張すること。
• G が有限生成で H が有限であるような群のエピモルフィズム f: G → H を用いたホモモルフィック暗号の枠組みを形式化し、f による逆像を用いた暗号化を可能にすること。
• 非アーベル代数的構造における秘密計算の理論的基盤を提供すること、特にブール回路や群論的プリミティブの実装を想定する。

提案手法

• ホモモルフィック暗号方式を、ker(f) における右コセット代表元の集合 R、語の集合 A、および trapdoor 関数 P: A → ker(f) からなる三つ組 (R, A, P) として定義する。
• エピモルフィズム f: G → H を用い、G における暗号文を H における平文にマップする。暗号化は r ∈ R および a ∈ A に対して P(a)r として定義される。
• 定義 1.1 の条件により、G および H における群演算、ランダム要素の生成、逆元の計算が多項式時間で可能であることを保証する。
• 素数位数の巡回群の半直積を用い、既知の群拡大およびワレイン積の結果を活用して暗号方式を構築する。
• H の任意の自明でない部分群 H′ に対して、G における前像 f⁻¹(H′) にシステムを上げることで、H′ が G_crypt に属することを示す。
• 正確な完全列 A → G → H → 1 を用いて構造を形式化し、P が準同型であり、im(P) = ker(f) であることを保証することで、ホモモルフィック性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルな有限群、特に可解群に対してホモモルフィック公開鍵暗号方式を構築することは可能か？
• RQ2 平文群 H がホモモルフィック暗号方式を支持するための必要十分条件となる群の構造的性質は何か？
• RQ3 群論的構成を用いて、アーベル群に限られていたホモモルフィック暗号の対象となる群のクラスを拡張することは可能か？
• RQ4 公開情報と隠された trapdoor 関数のみを用いて、非アーベル群内でどのように秘密計算を実行できるか？
• RQ5 この枠組みは、任意のブール回路や可解群における群論的計算をサポートするように一般化可能か？

主な発見

• 定理 3.6 により、ホモモルフィック暗号方式を支持する群のクラス G_crypt には、すべての有限可解で自明でない群が含まれることが証明された。
• G が有限生成群で H が有限可解群であるようなエピモルフィズム f: G → H を用いた構成が行われ、H はその乗法表によって表現される。
• 任意の H ∈ G_crypt に対して、暗号化が確率的であり、復号には trapdoor 関数 P⁻¹ の逆関数を解く必要があるホモモルフィック暗号方式 (R, A, P) が存在する。
• システムは秘密計算をサポートする：G における暗号化データ上の演算は、平文を露呈させることなく、正しい結果が H で復号されることを保証する。
• H の部分群に対しても、f⁻¹(H′) にシステムを上げることで一般化可能であり、G_crypt に属する可解群のすべての部分群も G_crypt に属することが保証される。
• 構成は理論的であり、ワレイン積のため、指数的サイズの表現を伴う可能性があるが、H が小さい場合には暗号化および復号が多項式時間で可能である枠組みを提供する。