[論文レビュー] On non-autonomous maximal regularity for elliptic operators in divergence form

Pascal Auscher, Moritz Egert|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用数 25

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する係数をもつ非自己同型楕円型作用素の発散型形式について、$ L^2(Ω) $ における最大正則性を確立する。時間微分の分数階 $ \frac{1}{2} $-導関数に関するスケール不変な BMO 型条件が、古典的な $ \alpha $-ホルダー連続性（$ \alpha > \frac{1}{2} $）が成立しない場合でさえ、$ H = L^2(\Omega) $ における最大正則性を十分に満たすことを証明する。この結果は、先行研究が残した境界ケースを解消するものであり、コンmutator 評価と分数階微積分を用いて得られる。

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem for non-autonomous forms inducing elliptic operators in divergence form with Dirichlet, Neumann, or mixed boundary conditions on an open subset $\\Omega$ $\\subseteq$ R n. We obtain maximal regularity in L 2 ($\\Omega$) if the coefficients are bounded, uniformly elliptic, and satisfy a scale invariant bound on their fractional time-derivative of order one-half. Previous results even for such forms required control on a time-derivative of order larger than one-half.

研究の動機と目的

• 非自己同型発散型楕円型作用素の $ L^2(\Omega) $ における最大正則性が、時間に依存する係数の $ \frac{1}{2} $-正則性で十分かどうかという未解決問題を解消すること。
• 従来の結果が、形式またはその時間微分の $ \alpha > \frac{1}{2} $-ホルダー連続性を要件としていたのを拡張すること。
• 作用素係数行列 $ A(t,x) $ の時間変動に関する、鋭いスケール不変条件を確立し、$ H = L^2(\Omega) $ における最大正則性を保証すること。
• 可分性の仮定を必要とせず、有界性、準強凸性、可測性のみを用いて、リヨンズの $ V^* $ における最大正則性を再証明すること。

提案手法

• 時間に依存する作用素 $ \mathfrak{A}(t) \in \mathcal{L}(V,V^*) $ を定義するため、非自己同型形式 $ \mathfrak{a}(t,v,w) = \int_\Omega A(t,x)\nabla v \cdot \overline{\nabla w}\,dx $ を用いる。
• $ f \in L^2(0,T;H) $ および $ A $ を $ \mathbb{R} $ に拡張する時間拡張技術を適用し、$ \mathbb{R} $ 上のグローバルソボレフ空間を用いることを可能にする。
• 分数階時間微分 $ D_t^{1/2} $ と係数行列 $ A $ のコンmutator を用い、$ L^2 $-有界性を保証する鋭いコンmutator 評価（Murray, 2015）を活用する。
• エネルギー推定および $ \|u\|_H^2 $ の絶対連続性を用いて、拡張問題 $ u' + u + \mathfrak{A}u = e^t E_0f $、$ u(0) = 0 $ に対して $ u \in H^1(\mathbb{R};H) \cap H^{1/2}(\mathbb{R};V) $ の解の存在を証明する。
• 恒等式 $ \|u(0)\|_H^2 = -2\operatorname{Re}\int_{-\infty}^0 \langle u', u \rangle \, dt $ を用いて初期データが消えることを示し、$ [0,T] $ への制限が所望の解を与えることを保証する。
• 作用素 $ H $ における半分の微分の増加をもたらす、$ [A, D_t^{1/2}] $ の $ L^2(\mathbb{R};H) $ 上の有界性を用いて、$ H $ における最大正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する係数行列 $ A(t,x) $ の $ \frac{1}{2} $-正則性が、非自己同型発散型楕円型作用素の $ L^2(\Omega) $ における最大正則性を保証するか。
• RQ2 $ \alpha = \frac{1}{2} $ の鋭い境界ケースが、$ H $ における最大正則性を達成可能か。$ \alpha > \frac{1}{2} $ のホルダー連続性が満たされない場合でも成立するか。
• RQ3 $ \mathfrak{A}(t) $ の $ \frac{1}{2} $-ホルダー連続性が、発散型形式作用素に対しても $ H $ における最大正則性を保証するか。
• RQ4 $ V^* $ における抽象的最適正則性結果を、$ H $ の可分性の仮定を除き、有界性と準強凸性のみを用いて再証明可能か。
• RQ5 $ A $ に対してスケール不変な BMO 型条件が成立する場合、$ L^2(\mathbb{R};H) $ 上でコンmutator $ [A, D_t^{1/2}] $ が有界のまま保たれ、$ H $ における半分の微分の増加が可能か。

主な発見

• 本稿は、作用素係数行列 $ A(t,x) $ の時間変動に関するスケール不変な BMO 型条件、具体的には $ \sup_I \frac{1}{\ell(I)} \int_I \int_I \frac{|A(t,x) - A(s,x)|^2}{|t-s|} \, dt\,ds < \infty $ a.e. $ x \in \Omega $ を満たす場合に、非自己同型発散型楕円型作用素が $ H = L^2(\Omega) $ で最大正則性を有することを確立する。
• この条件は鋭く、$ \alpha = \frac{1}{2} $ の境界ケースを表しており、ファックラーが提起した未解決問題を解消する。
• 複素数係数、あるいは非対称な係数に対しても、$ H $ における最大正則性は、上記と同様の条件が係数そのものに直接適用される場合に成立する。
• 初期値問題の解 $ u $ に対して、$ \|u\|_{H^{1/2}(0,T;H)} + \|u\|_{H^1(0,T;V)} \leq C \|f\|_{L^2(0,T;H)} $ が成り立ち、定数 $ C $ は $ \lambda, \Lambda, M, T, n $、および BMO 型定数 $ M $ に依存する。
• 証明は、$ f $ および $ A $ を $ \mathbb{R} $ に拡張し、$ \mathbb{R} $ 上で問題を解き、エネルギー推定および $ \|u\|_H^2 $ の絶対連続性により $ u(0) = 0 $ を示すことで成り立つ。これにより、$ [0,T] $ への制限が所望の解を与えることが保証される。
• $ H $ における追加の半分の微分の増加をもたらす鍵となるメカニズムは、$ [A, D_t^{1/2}] $ の $ L^2(\mathbb{R};H) $ 上の有界性であり、これはスケール不変な BMO 型条件によって保証される。