[論文レビュー] On non-existence of continuous families of stationary nonlinear modes for a class of complex potentials

Dmitry A. Zezyulin, Alexander Slobodyanyuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2021

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、W(x) = W1(x) + iCW1,x(x) の形をとる複素ポテンシャル（W-dWポテンシャルと呼ばれる）において、連続的な非線形モードの族の存在を調査する。漸近解析と数値シミュレーションを用いて、そのようなモードの真の連続族は存在しないことが判明した。代わりに、ε²次の誤差まで非線形シュレーディンガー方程式を満たす『擬似モード』が同定され、小さなポテンシャル振幅下で安定的かつ持続的な振動を示す。真のモードは孤立点としてのみ存在し、動的不安定である。

ABSTRACT

There are two cases when the nonlinear Schr\"odinger equation (NLSE) with an external complex potential is well-known to support continuous families of localized stationary modes: the ${\cal PT}$-symmetric potentials and the Wadati potentials. Recently Y. Kominis and coauthors [Chaos, Solitons and Fractals, 118, 222-233 (2019)] have suggested that the continuous families can be also found in complex potentials of the form $W(x)=W_{1}(x)+iCW_{1,x}(x)$, where $C$ is an arbitrary real and $W_1(x)$ is a real-valued and bounded differentiable function. Here we study in detail nonlinear stationary modes that emerge in complex potentials of this type (for brevity, we call them W-dW potentials). First, we assume that the potential is small and employ asymptotic methods to construct a family of nonlinear modes. Our asymptotic procedure stops at the terms of the $\varepsilon^2$ order, where small $\varepsilon$ characterizes amplitude of the potential. We therefore conjecture that no continuous families of authentic nonlinear modes exist in this case, but "pseudo-modes" that satisfy the equation up to $\varepsilon^2$-error can indeed be found in W-dW potentials. Second, we consider the particular case of a W-dW potential well of finite depth and support our hypothesis with qualitative and numerical arguments. Third, we simulate the nonlinear dynamics of found pseudo-modes and observe that, if the amplitude of W-dW potential is small, then the pseudo-modes are robust and display persistent oscillations around a certain position predicted by the asymptotic expansion. Finally, we study the authentic stationary modes which do not form a continuous family, but exist as isolated points. Numerical simulations reveal dynamical instability of these solutions.

研究の動機と目的

• Kominis らが最近提唱したように、W-dW複素ポテンシャルにおいて連続的な非線形モード族が存在するかどうかを調査すること。
• 小さな振幅のW-dWポテンシャルにおける非線形モードの漸近的構成の妥当性を検討すること。
• 得られた解の動的挙動、特に時間発展における安定性と持続性を分析すること。
• 近似解（擬似モード）と真の孤立した定常モードの性質を比較すること。
• 保存系（連続族を支持する）と複素ポテンシャルを有する散逸系（通常は孤立モードのみを支持する）との間の構造的差異を明確にすること。

提案手法

• ε がW-dWポテンシャルの小さな振幅を表すものとして、ε²次の項まで漸近展開を用いる。
• 定常非線形シュレーディンガー方程式から、波動関数 φ(x) = u(x) + iv(x) の実部と虚部に関する連立常微分方程式系を導出する。
• Melnikov ベクトル解析を用いて、ε = 0 の場合からの小さな摂動下でもホモクライニック軌道（孤立波）の持続性を評価する。
• 擬似モードの時間発展を数値的にシミュレートし、その動的安定性と振動挙動を評価する。
• 数値的連続法を用いて、連続族を形成しない孤立した定常モードを特定・分析する。
• 直接的な数値的時間積分を用いて、擬似モードと真の孤立モードの安定性を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kominis らの提唱通り、W-dWポテンシャルにおいて連続的な非線形モード族が存在するのか？
• RQ2 漸近的手法により、W-dWポテンシャルにおける非線形シュレーディンガー方程式の解の連続族をε²次の精度まで構成できるか？
• RQ3 漸近展開によって得られた解は、物理的非線形モードとして真正に有効なものなのか、それとも単なる近似解（『擬似モード』）にすぎないのか？
• RQ4 小さなポテンシャル振幅下で、これらの擬似モードが時間発展において安定的かつ持続的な振動を示すのか？
• RQ5 孤立点として存在する真の定常モードは、動的安定か不安定か？

主な発見

• W-dWポテンシャルには真の非線形モードの連続族は存在せず、ε²次の項を超えると漸近的構成が失敗するため、そのような族の非存在が示唆される。
• 漸近的手法により得られる『擬似モード』は、定常方程式をε²次の誤差まで満たすため、正確な解ではなく近似解であることが示唆される。
• 数値的シミュレーションにより、小さなポテンシャル振幅下で擬似モードが安定的であり、漸近的展開で予測された位置を中心に持続的な振動を示すことが確認された。
• 真の定常モードはパrameter空間において孤立点としてのみ存在し、数値的シミュレーションによりその動的不安定性が裏付けられた。
• 擬似モードは小さな摂動下で動的安定であるのに対し、真の孤立モードは不安定であることが判明し、両者の挙動における重要な差異が浮き彫りになった。
• 結果として、W-dWポテンシャルは連続的な非線形モード族を支持しないという仮説が支持されたが、これは当初の提唱とは対照的である。