[論文レビュー] On non-overdetermined inverse scattering at zero energy in three dimensions

Roman Novikov|ArXiv.org|May 31, 2006

Numerical methods in inverse problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元におけるゼロエネルギーでの非過剰決定的逆散乱問題に対して、$\bar{\partial}$-方程式のアプローチを発展させ、小スカラーポテンシャルからのバックスキャッタリング型データに基づき、一意性、再構成、安定性、および近似再構成を確立する。主たる貢献は、複素領域における制限されたファドデエフ散乱振幅からシュレーディンガー型ポテンシャルを復元するための厳密なフレームワークを確立したことである。このフレームワークは、電気的インピーダンストモグラフィーへの直接的応用を有する。

ABSTRACT

We develop the d-bar -approach to inverse scattering at zero energy in dimensions d>=3 of [Beals, Coifman 1985], [Henkin, Novikov 1987] and [Novikov 2002]. As a result we give, in particular, uniqueness theorem, precise reconstruction procedure, stability estimate and approximate reconstruction for the problem of finding a sufficiently small potential v in the Schrodinger equation from a fixed non-overdetermined ("backscattering type") restriction h on $Γ$ of the Faddeev generalized scattering amplitude h in the complex domain at zero energy in dimension d=3. For sufficiently small potentials v we formulate also a characterization theorem for the aforementioned restriction h on $Γ$ and a new characterization theorem for the full Faddeev function h in the complex domain at zero energy in dimension d=3. We show that the results of the present work have direct applications to the electrical impedance tomography via a reduction given first in [Novikov, 1987, 1988].

研究の動機と目的

• ゼロエネルギーにおける3次元シュレーディンガー方程式の小スカラーポテンシャルを、制限されたファドデエフ散乱振幅から一意に再構成する定理を確立すること。
• 非過剰決定的（バックスキャッタリング型）データに適用された$\bar{\partial}$-方程式形式を用いて、ポテンシャルの明確な再構成手順を開発すること。
• ポテンシャルのフーリエ変換に対する$L_\mu^\infty$-正則性仮定の下で、小スカラーポテンシャルに対する安定性見積もりおよび近似再構成スキームを導出すること。
• 小スカラーポテンシャルにおける散乱データ$h|_{\Gamma}$および複素領域における完全なファドデエフ関数$h$の特徴付けを提供すること。
• ノヴィコフ（1987, 1988）による還元を介して、結果の電気的インピーダンストモグラフィーへの直接的応用を示すこと。

提案手法

• ゼロエネルギーにおける逆散乱問題に用いられる$\bar{\partial}$-方程式のアプローチ（Beals-Coifman, 1985; Henkin-Novikov, 1987; Novikov, 2002）を用いる。
• 複素多様体$\Theta = \{k,l \in \mathbb{C}^3 : k^2 = l^2 = 0, \operatorname{Im}k = \operatorname{Im}l\}$上に定義されたファドデエフ一般化散乱振幅$h(k,l)$を用い、$\Gamma \subset \Theta$への制限を考察する。
• ポテンシャル$v$と散乱データを関連付けるために、$k \in \Sigma = \{k \in \mathbb{C}^3 : k^2 = 0\}$に対して、$H(k,\cdot)$に関する積分方程式$H(k,p) = \hat{v}(p) - \int \frac{\hat{v}(p+\xi) H(k,-\xi)}{\xi^2 + 2k\xi} d\xi$を用いる。
• $L_\mu^\infty$-ノルム空間における解の存在と一意性を保証するため、$\hat{v} \in L_\mu^\infty(\mathbb{R}^3)$（$\mu \geq 2$）を仮定する。
• 非線形積分方程式の解法にあたり、空間$L_\mu^\infty((\mathbb{C} \setminus 0) \times (\mathbb{R}^3 \setminus \mathcal{L}_\nu))$上での収縮写像法を用いる。
• 複素平面における核$1/\zeta$の推定と$L_\mu^\infty$-ノルム制御を用いて、再構成プロセスの安定性および収束限界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元シュレーディンガー方程式におけるポテンシャル$v$は、ゼロエネルギーにおけるファドデエフ散乱振幅の制限$h|_{\Gamma}$から一意に再構成可能か？
• RQ2 $h|_{\Gamma}$から$v$を再構成する明確な手順は何か？ また、この手順の安定性および収束性の性質は？
• RQ3 関連する$\bar{\partial}$-方程式系の可解性および再構成の有効性を保証する$\hat{v}$の条件は何か？
• RQ4 $h|_{\Gamma}$は古典的バックスキャッタリング振幅とどのように関係し、非過剰決定的逆散乱において果たす役割は？
• RQ5 小スカラーポテンシャルにおける散乱データ$h|_{\Gamma}$および完全な$h$の複素領域における特徴付けは？

主な発見

• 小スカラーポテンシャルに対して、$\hat{v} \in L_\mu^\infty(\mathbb{R}^3)$（$\mu \geq 2$）かつ$||\hat{v}||_\mu$が十分に小さい条件下で、ポテンシャル$v$の一意性が確立される。
• $L_\mu^\infty$-空間における非線形積分方程式の解法を用いて、逐次近似法により$v$の明確な再構成手順が導出される。
• 安定性見積もりが得られる：再構成されたポテンシャルの差の$L_\mu^\infty$-ノルムは、散乱データの差の$L_\mu^\infty$-ノルムの定数倍で有界である。
• 収縮写像法を用い、$\alpha = 4c_6(\mu)r < 1$を満たす条件下で、収束速度$O(r)$の近似再構成が達成される。ここで$r = ||\hat{v}||_\mu$である。
• 特徴付け定理が証明された：$h|_{\Gamma}$は、$\hat{v} \in L_\mu^\infty(\mathbb{R}^3)$（$\mu \geq 2$）かつ$||\hat{v}||_\mu$が小さいポテンシャル$v$から生じる、かつその逆が成り立つ、必要十分条件は、関連する$\bar{\partial}$-方程式の解が所定の積分方程式を満たすことである。
• 同様の小さな正則性仮定の下で、3次元におけるゼロエネルギーにおける完全なファドデエフ関数$h$の複素領域における新たな特徴付け定理が確立された。