[論文レビュー] On Non-topological Solutions of the ${\bf G}_2$ Chern-Simons System

Weiwei Ao, Chang‐Shou Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、R²におけるG2 Chern-Simons系の非位相的解の存在を確立し、ゲージ理論および数学的物理における長年の未解決問題を解決する。1つの特異的源を持つ対応するG2 Toda系を摂動し、Lyapunov-Schmidt削減枠組みを用いることで、2つの条件下で解の存在を証明した。すなわち、全ビタール電荷がバランスしている（N₁∑pⱼ = N₂∑qⱼ）場合、またはN₁, N₂ > 1かつ|N₁ − N₂| ≠ 1の場合であり、ランク2のChern-Simons系における非位相的解の分類を完了する。

ABSTRACT

For any rank 2 of simple Lie algebra, the relativistic Chern-Simons system has the following form: \begin{equation}\label{e001} \left\{\begin{array}{c} Δu_1+(\sum_{i=1}^2K_{1i}e^{u_i} -\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2e^{u_i}K_{1i}e^{u_j}K_{ij})=4π\displaystyle \sum_{j=1}^{N_1}δ_{p_j}\\ Δu_2+ (\sum_{i=1}^2K_{2i}e^{u_i}-\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2e^{u_i}K_{2i}e^{u_j}K_{ij})=4π\displaystyle \sum_{j=1}^{N_2}δ_{q_j} \end{array} ight.\mbox{in}\; \mathbb{R}^2, \end{equation} where $K$ is the Cartan matrix of rank $2$. There are three Cartan matrix of rank 2: ${\bf A}_2$, ${\bf B}_2$ and ${\bf G}_2$. A long-standing open problem for \eqref{e001} is the question of the existence of non-topological solutions. In a previous paper \cite{ALW}, we have proven the existence of non-topological solutions for the ${\bf A}_2$ and ${\bf B}_2$ Chern-Simons system. In this paper, we continue to consider the ${\bf G}_2$ case. We prove the existence of non-topological solutions under the condition that either $N_2\displaystyle\sum_{j=1}^{N_1} p_j=N_1\displaystyle \sum_{j=1}^{N_2} q_j $ or $N_2\displaystyle\sum_{j=1}^{N_1}p_j ot =N_1\displaystyle \sum_{j=1}^{N_2} q_j$ and $N_1,N_2>1$, $ |N_1-N_2| eq 1$. We solve this problem by a perturbation from the corresponding ${\bf G}_2$ Toda system with one singular source. Combining with \cite{ALW}, we have proved the existence of non-topological solutions to the Chern-Simons system with Cartan matrix of rank $2$.

研究の動機と目的

• R²におけるG2 Chern-Simons系の非位相的解の存在という未解決問題を解決すること。
• A₂およびB₂系に関する非位相的解の既存結果を、残りのランク2ケース、G₂に拡張すること。
• 全ビタール電荷がバランスしているか、N₁, N₂ > 1かつ|N₁ − N₂| ≠ 1であるという2つの異なる条件下で解の存在を確立すること。
• 相対論的Chern-Simonsモデルにおけるすべてのランク2 Cartan行列について、非位相的解の分類を完了すること。

提案手法

• 1つの特異的源を持つG2 Toda系からの摂動により、近似解を構成すること。
• 無限次元問題を有限次元問題に削減するためのLyapunov-Schmidt削減法の使用。
• 解の形式的漸近展開の構築、O(ε)およびO(ε²)補正項を含むこと。
• パラメータξ₁, ξ₂および誤差項O(|a|²/ε)、O(ε)、O((1 + |ξ|)|a|²)を含む行列系を用いた削減問題の分析。
• 特殊関数および三角関数のcsc項を用いた削減問題における係数の明示的計算。
• 陰関数定理の技法を用いて削減系を解き、a = O(ε)を満たす解を取得すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のビタール配置のもとで、R²におけるG₂ Chern-Simons系に非位相的解が存在するか？
• RQ2 全ビタール電荷がバランスしていないが、N₁, N₂ > 1かつ|N₁ − N₂| ≠ 1である場合、非位相的解の存在を確立できるか？
• RQ3 G₂ Toda系がChern-Simons系の解を構成する際の極限ケースとして果たす役割は何か？
• RQ4 O(ε²)補正項が標準的手法では解けない場合、摂動枠組みはどのように対処するか？
• RQ5 Lyapunov-Schmidt削減法は、G₂の場合における削減問題の非退化性を解消するために適応可能か？

主な発見

• 全ビタール電荷がN₁∑pⱼ = N₂∑qⱼを満たす場合、G₂ Chern-Simons系に非位相的解が存在する。
• N₁, N₂ > 1かつ|N₁ − N₂| ≠ 1である場合、全電荷がバランスしていなくても非位相的解が存在する。
• 解は、1つの特異的源を持つG2 Toda系からの摂動と、Lyapunov-Schmidt削減枠組みを用いて構成される。
• 係数γ₁からγ₆の明示的計算により、削減問題が非退化であることが示され、一般パラメータのもとですべて非ゼロである。
• 解は‖v‖* ≤ C₀を満たし、誤差項がO(ε)として制御され、漸近的状態で収束することが保証される。
• 本手法により、すべてのランク2 Cartan行列（A₂, B₂, G₂）における非位相的解の存在プログラムが完了する。