[論文レビュー] On Non-uniqueness of Hölder continuous globally dissipative Euler flows

Camillo De Lellis, Hyunju Kwon|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元非圧縮性Euler方程式に対して、指数 α < 1/7 におけるHölder連続で、かつ運動エネルギーを厳密に散逸する、グローバルに散逸的である弱解の存在を確立する。空間的・時間的分離された支持を持つMikado流れを用いた凸統合スキームを用いて、Onsagerの閾値未満のHölder正則性にもかかわらずエネルギー保存が破れる解を構成し、散逸的クラスにおける非一意性を示している。

ABSTRACT

We show that for any $\al&lt;\frac 17$ there exist $\al$-Hölder continuous weak solutions of the three-dimensional incompressible Euler equation, which satisfy the local energy inequality and strictly dissipate the total kinetic energy. The proof relies on the convex integration scheme and the main building blocks of the solution are various Mikado flows with disjoint supports in space and time.

研究の動機と目的

• 3次元非圧縮性Euler方程式に対して、Hölder連続でグローバルに散逸的である解を構成することにより、Onsagerの予想のより強い形を解決すること。
• Hölder連続でグローバルに散逸的であるEuler流れのクラスにおける弱解の非一意性を示すこと。
• 従来の凸統合構成を拡張し、正則性を向上させつつ厳密なエネルギー散逸を維持すること。
• 粘性がゼロに近づくときのNavier-Stokes解の逆写像における異常な散逸を厳密に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• 制御されたHölder正則性とエネルギー散逸を持つ弱解を構築するために、凸統合法を用いる。
• 空間的・時間的分離された支持を持つMikado流れを構築し、正則性を損なわせることなくエネルギー散逸を保証する。
• Euler-Reynolds系の修正に再帰的反復スキームを用い、エネルギー不等式とHölderバインドを維持する。
• Littlewood-Paley射影を用いた周波数局在化と交換子推定により、誤差項を制御する。
• 時間的区間における流れの正則化を実施し、反復の各段階でHölder連続性とエネルギー散逸を維持する。
• 交換子推定と周波数局在化を用いて、エネルギー不等式における非線形誤差項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元Euler方程式に対して、Onsagerの閾値未満のHölder正則性を有するグローバルに散逸的である弱解が存在しうるか？
• RQ2 Hölder連続でグローバルに散逸的であるEuler解のクラスにおいて、非一意性は可能か？
• RQ3 凸統合が、Hölder正則性を維持しつつエネルギーを厳密に散逸させる解を構成するために適応可能か？
• RQ4 このような散逸的解は、粘性がゼロに近づく適切なNavier-Stokes解の極限として得られるか？
• RQ5 非一意性と厳密なエネルギー散逸が共存する3次元Euler方程式において、最適なHölder指数 α は何か？

主な発見

• 任意の α < 1/7 に対して、3次元非圧縮性Euler方程式は Hölder空間 C^α([0,T]×𝕋³) 内にグローバルに散逸的である弱解が存在する。
• 構築された解は、厳密な散逸を伴う局所エネルギー不等式を満たす：∫|v|²/2(T,x)dx < ∫|v|²/2(0,x)dx。
• 非一意性が確立された：同じ初期データとHölder正則性を持つ、無限個の異なるグローバルに散逸的解が存在する。
• 空間的・時間的分離された支持を持つMikado流れを用いることで、Hölder正則性を損なわせることなくエネルギー散逸を保証する。
• 従来の凸統合スキームを拡張し、正則性を向上させつつ厳密なエネルギー散逸を維持する。
• この結果により、局所エネルギー不等式とHölder正則性だけでは、Euler方程式における一意性を回復できないことが示された。