[論文レビュー] On noncommutative and commutative equivalence for BFYM theory : : Seiberg-Witten map

H. Benaoum|ArXiv.org|Apr 1, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ \mathbb{R}^4$ 上での非可換および可換BFYM理論の間のSeiberg-Wittenゲージ同値写像を構築し、非可換作用が高次元のゲージ不変項を除いて通常の場の言語で表現できることを示している。$U(1)$ BFYMに対しては、非可換パラメータ$ \theta$ のべき級数として非可換場と可換場を明示的に関係づける写像が得られ、非可換作用は$ \frac{1}{1+iB\theta}B$ および$ \frac{1}{1+iF\theta}F$ を含む変形された可換作用と、全微分項および$O(\theta^2)$補正を除いて等価である。

ABSTRACT

BFYM on commutative and noncommutative ${\mathbb{R}}^4$ is considered and a Seiberg-Witten gauge-equivalent transformation is constructed for these theories. Then we write the noncommutative action in terms of the ordinary fields and show that it is equivalent to the ordinary action up to higher dimensional gauge invariant terms.

研究の動機と目的

• 非可換および可換BFYM理論が$ \mathbb{R}^4$ 上でゲージ同値写像をもつことを確立すること。
• Seiberg-Witten写像を用いて非可換BFYM理論が通常の場の言語で表現できることを示すこと。
• 非可換BFYM作用が全微分項および$O(\theta^2)$補正を除いて、変形された可換作用と等価であることを示すこと。
• 非可換および可換BFYM理論の物理的等価性が、同一の基本的場の理論の異なる正則化スキームに起因することを明確にすること。

提案手法

• 非可換パラメータ$ \theta$ の無限小変化に対する微分方程式を解くことでSeiberg-Witten写像を構築し、Moyal $ \ast$ 積の一次近似を用いる。
• 非可換場$ \hat{A}_i$ 、$ \hat{B}_{ij}$ 、$ \hat{F}_{ij}$ のゲージ変換則を、可換場$ A_i$ 、$ B_{ij}$ 、$ F_{ij}$ の言語で、$O(\theta^2)$まで導出する。
• 非可換ラグランジアンにSeiberg-Witten写像を代入することで、非可換BFYM作用$ \hat{S}$ を通常の場の言語で表現する。
• 恒等式$ \frac{1}{1+iF\theta}F$ および$ \frac{1}{1+iB\theta}B$ を用いて、非可換場を可換場の変形版として再表現する。
• ゲージパrameter $ \hat{\lambda}$ の変換則を導出し、$ \theta$ の一次まででゲージ代数と整合していることを確認する。
• 結果として得られる非可換作用が、全微分項および高次の$ \theta$ 補正を除いて可換作用と異なることなく、ゲージ不変性が保たれることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換および可換BFYM理論が$ \mathbb{R}^4$ 上でSeiberg-Witten写像によって関係づけられるか。
• RQ2 非可換ゲージ場$ \hat{A}_i$ 、$ \hat{B}_{ij}$ 、$ \hat{F}_{ij}$ が$ \theta$ の一次までで、それらの可換対応物$ A_i$ 、$ B_{ij}$ 、$ F_{ij}$ とどのように関係するか。
• RQ3 非可換BFYM作用が変形された可換BFYM作用と等価であるか。その場合、変形の形は何か。
• RQ4 $ \frac{1}{1+iF\theta}F$ および$ \frac{1}{1+iB\theta}B$ の再定義が、非可換および可換形式間の等価性において果たす役割は何か。
• RQ5 この等価性は、同一の基本的場の理論の異なる正則化スキームに起因すると理解できるか。

主な発見

• BFYM理論のSeiberg-Witten写像は、非可換場と可換場を$ \theta$ のべき級数で関係づけ、$O(\theta^2)$まで明示的な表現が得られた。
• $U(1)$ BFYMに対しては、非可換ゲージ場は$ \hat{A}_i = A_i - \frac{i}{2}\theta^{kl}A_k(\partial_l A_i + F_{li}) + O(\theta^2)$ であり、ゲージパrameterは$ \hat{\lambda} = \lambda + \frac{i}{2}\theta^{kl}\partial_k\lambda A_l + O(\theta^2)$ と変換する。
• 非可換場強度は$ \hat{F}_{ij} = F_{ij} + i\theta^{kl}(F_{ik}F_{jl} - A_k\partial_l F_{ij}) + O(\theta^2)$ と変換する。
• 非可換作用$ \hat{S}$ は、$ \frac{1}{1+iB\theta}B$ および$ \frac{1}{1+iF\theta}F$ を含む変形された可換作用と、全微分項および$O(\theta^2)$項を除いて等価である。
• 等価性は作用のレベルで成立し、非可換理論は場の再定義の下で修正された可換理論と物理的に等価である。
• 定数場に対して、写像は$ \hat{B}_{ij} = \frac{1}{1+iB\theta}B_{ij}$ および$ \hat{F}_{ij} = \frac{1}{1+iF\theta}F_{ij}$ に簡略化され、微分方程式のアプローチと整合することが確認された。