[論文レビュー] On Nonhomogeneous Boundary Value Problems for the Stationary Navier--Stokes Equations in 2D Symmetric Semi-Infinite Outlets

Michel Chipot, K. Kaulakyt+2 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非一様ディリクレ境界条件を伴う対称的半無限出口（放物面的またはチャネル状）における定常2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、少なくとも1つの弱い対称解の存在を確立している。境界上の内側および外側の流量が任意に大きくても、総流量がゼロであれば成立する。解のディリクレ積分（エネルギー）は、領域の幾何構造に応じて有限または無限になり得る。これは、対称性のもとでの非有界2次元領域におけるレーリー問題の長年の未解決事例を解消するものである。

ABSTRACT

We study the stationary nonhomogeneous Navier--Stokes problem in a two dimensional symmetric domain with a semi-infinite outlet (for instance, either parabo-\\loidal or channel-like). Under the symmetry assumptions on the domain, boundary value and external force we prove the existence of at least one weak symmetric solution without any restriction on the size of the fluxes, i.e. the fluxes of the boundary value ${\bf a}$ over the inner and the outer boundaries may be arbitrarily large. Only the necessary compatibility condition (the total flux is equal to zero) has to be satisfied. Moreover, the Dirichlet integral of the solution can be finite or infinite depending on the geometry of the domain.

研究の動機と目的

• 非有界2次元領域における非一様境界値問題としての長年の未解決問題であるレーリー問題に取り組むこと。
• 流量の大きさに関する制限なしに、対称性および整合性条件のもとで弱解の存在を確立すること。
• 解のディリクレ積分（エネルギー）の挙動を分析し、領域の幾何構造に応じて有限または無限になり得ることを示すこと。
• 従来の結果を拡張し、解の可解性を保ちつつ、任意に大きな流量を許容するようにすること。

提案手法

• 反射に関して不変となる構造を持つ対称的領域を採用し、1つの半無限出口（放物面的またはチャネル状）を有する。
• レーリー＝ホプフ型の不等式を満たすように境界データ a の特別な拡張を用い、エネルギー推定を可能にする。
• 有限次元部分空間を用いたガレルキン型アプローチにより、有界部分領域 Ωk における近似解の列を構成する。
• カントールの対角線法を用いたコンパクト性の議論により、W1,2 空間における弱収束部分列を抽出する。
• compact 支持を持つ試験関数を用いて弱形式における極限に移行し、極限が積分恒等式を満たすことを証明する。
• 対称性および整合性条件（総流量 = 0）を活用し、流量の大きさに関する制限なしに、成長を制御し収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様境界データおよび任意に大きな流量を伴う対称的非有界領域における定常2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、弱解が存在しうるか。
• RQ2 総流量がゼロであれば、すべての成分における流量がゼロでない場合でも、このような領域で弱解の存在が保証されるのか。
• RQ3 出口の幾何構造（放物面的 vs. チャネル状）は、解の勾配の可積分性（すなわち、ディリクレ積分）にどのように影響するか。
• RQ4 領域、境界データ、外力の対称性が、流量が大きくても追加の小規模仮定なしに解の存在を保証できるか。

主な発見

• 非一様ディリクレ境界条件を伴う対称的半無限出口（放物面的またはチャネル状）における定常2次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、内側および外側境界における流量が任意に大きくても、弱い対称解が存在する。
• 必要な唯一の条件は総流量がゼロであることであり、一般の流出条件が解の可解性に十分であることを確認した。
• 解のディリクレ積分は、特に断面幅の減少率に依存する領域の幾何的性質に応じて、有限または無限になり得る。
• 有界部分領域における極限過程により解が構成され、コンパクト性および弱収束を用い、カントールの対角線法により収束が確立された。
• 従来の結果では流量の小規模性またはゼロ流量を要件としていたが、本手法では境界成分における流量の大きさに制限がない。
• フジタおよびモリモトの先行研究（外境界で境界データをゼロとし、ポアズイユ型の減衰を仮定）を一般化し、このような制限を撤廃した。