[論文レビュー] On nonpermutational transformation semigroups with an application to syntactic complexity

Szabolcs Iván, Judit Nagy-György|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

semigroups and automata theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、全変換半群 $ T_n $ の非置換的変換のみからなる部分半群のサイズに対する上界 $ n((n-1)! - (n-3)!) $ を確立する。応用として、一般化された決定的言語の句構文的複雑性に対しても同じ上界が得られ、ドット・ディープネス階層内でのこの言語クラスの複雑性を理解する上で重要な一歩を提供する。

ABSTRACT

We give an upper bound of $n((n-1)!-(n-3)!)$ for the possible largest size of a subsemigroup of the full transformational semigroup over $n$ elements consisting only of nonpermutational transformations. As an application we gain the same upper bound for the syntactic complexity of (generalized) definite languages as well.

研究の動機と目的

• 全変換半群 $ T_n $ の非置換的変換のみからなる部分半群のサイズに対する上界を特定すること。
• この上界を、スターフリー言語の部分クラスたる一般化された決定的言語の句構文的複雑性に応用すること。
• 最小オートマトンに基づく観点から、一般化された決定的言語の禁止パターンの特徴付けを提供すること。
• 与えられたオートマトンが一般化された決定的言語を認識しているかどうかを判定する問題の計算量的複雑性を分析すること。
• 一般化された決定的言語と決定的言語の間でオートマトン構造が異なるにもかかわらず、句構文的複雑性が同一であることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、$ Xf = X $ ならば $ |X| = 1 $ であるような変換を非置換的変換と定義し、$ T_n $ 内でのその代数的構造を分析する。
• 彼らは上昇関数の概念を導入し、与えられた最小オートマトン $ \mathbb{A} $ から構成される簡略化されたオートマトン $ \mathbb{B} $ を保存的に構築する。
• この構成は、互いに素な状態集合からの関数のソースタプリングを介して新たな変換半群 $ \mathcal{T}' $ を定義し、$ |\mathcal{T}'| \geq |\mathcal{T}| $ を保証する。
• 元のオートマトン $ \mathbb{A} $ が特定の禁止パターン $ P_g $ を避けるならば、構築されたオートマトン $ \mathbb{B} $ は $ P_d $ を避けることが示され、これはそれが決定的言語を認識することを意味する。
• 対数領域の還元を用いて、一般化された決定的言語の決定問題が $ \mathbf{NL} $-完全であることを証明し、RAMマシン上で $ \mathcal{O}(n^2) $ 時間の決定的アルゴリズムを提示する。
• 主な技術的ステップは、最小オートマトンの構造を活用して、一般化された決定的言語の句構文的複雑性が、決定的言語と同一の式で抑えられることを示すことである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非置換的変換のみからなる $ T_n $ の部分半群の最大サイズは何か？
• RQ2 最小オートマトンの構造的性質を用いて、一般化された決定的言語の句構文的複雑性を上界で抑えられるか？
• RQ3 最小オートマトンの遷移構造に、一般化された決定的言語を特徴付ける禁止パターンが存在するか？
• RQ4 与えられたオートマトンが一般化された決定的言語を認識しているかどうかを判定する問題の計算量的複雑性は何か？
• RQ5 一般化された決定的言語と決定的言語の間でオートマトン構造が異なるにもかかわらず、句構文的複雑性が同一であるか？

主な発見

• 本稿は、非置換的変換のみからなる $ T_n $ の任意の部分半群のサイズに対する上界 $ n((n-1)! - (n-3)!) $ を確立する。
• この上界が、一般化された決定的言語の句構文的複雑性に対しても上界として成立し、既知の決定的言語の上界と一致することが示された。
• 著者らは、最小オートマトンの遷移構造に基づき、一般化された決定的言語の禁止パターンの特徴付けを提供し、特にパターン $ P_g $ を避けることを特定した。
• 与えられたオートマトンが一般化された決定的言語を認識しているかどうかを判定する問題が、対数領域還元のもとで $ \mathbf{NL} $-完全であることを証明した。
• RAMマシン上で $ \mathcal{O}(n^2) $ 時間の決定的アルゴリズムを提示し、一般化された決定的言語クラスへの属するかをチェックする。
• 一般化された決定的言語の句構文的複雑性が、オートマトン構造の違いにもかかわらず、決定的言語と同一であることが示された。