[論文レビュー] On Normal Stratified Pseudomanifolds

Gabriel Díaz Padilla|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2002

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 7被引用数 25

ひとこと要約

この論文は、従来知られていたよりも広い族のperversityに対して交差ホモロジーを保存する、位相的分岐的擬多様体に対するファンクター的な正規化を構成する。この構成により、正規化写像が局所的に自明な分岐的準同型であり、錐構造を保存することが保証され、正規化された空間の分岐構造が元のものに基づいて明示的に記述される。

ABSTRACT

A stratified pseudomanifold is normal if its links are connected. A normalization of a stratified pseudomanifold $X$ is a normal stratified pseudomanifold $Y$ together with a finite-to-one projection $n:Y o X$ satisfying a local condition related to the fibers. The map n preserves the intersection homology. Following Borel any pl-stratified pseudomanifod has a normalization in the above sense. In this parper: 1.- We prove that the map $n$ can be required to satisfy a stronger condition: it is a locally trivial stratified morphism preserving the conical structure transverse to the strata. 2.- We extend Borel's result for any topological stratified pseudomanifold and for a family of perversities which is larger than the usual one. 3.- We make an explicit construction of such a normalization. We give a detailed description of the normalizer's stratification. 4.- We prove that our construction is functorial, thus unique up to isomorphisms. With little adjust our procedure holds also in the $C^{\infty}$ category.

研究の動機と目的

• PL-分岐的擬多様体に限らない一般の位相的分岐的擬多様体へ正規化の存在を拡張すること。
• 従来の考えられていたよりも広い族のperversityに対して、正規化が交差ホモロジーを保存することの証明。
• 正規化をファンクター的かつ一意となるように構成すること。
• 正規化された空間の分岐構造を元の擬多様体のものと関係づけて明示的に記述すること。
• 正規化写像が局所的に自明な分岐的準同型であり、横断的錐構造を保存することを示すこと。

提案手法

• 論文は、分岐構造を尊重し、交差ホモロジーを保存するファンクター的プロセスにより正規化を構成する。
• 正規化を、元の空間への有限対1の写像として定義し、精密な近傍条件を満たす、正則部分の連結成分とリンクの分析に依拠する。
• 正規化写像が局所的に自明であり、各層に沿った錐構造を保存することを保証する。
• この方法は、$C^{ u}$ 圏へわずかな修正で拡張可能である。
• 使用されるperversity族は明示的に定義され、古典的族よりも大きいことが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PL-分岐的擬多様体から一般の位相的分岐的擬多様体へ正規化を拡張可能であり、交差ホモロジーを保存できるか？
• RQ2 位相的分岐的擬多様体に対して、錐構造を保存するファンクター的正規化構成が存在するか？
• RQ3 元の擬多様体の分岐構造とその正規化の分岐構造との関係は何か？
• RQ4 どのperversityに対して交差ホモロジーが正規化のもとで保存されるか？
• RQ5 正規化写像が局所的に自明な分岐的準同型と要求できるか？

主な発見

• 正規化写像は、ファンクター的かつ有限対1の分岐的準同型として構成され、交差ホモロジーを保存する。
• 構成により、正規化写像が局所的に自明な分岐的準同型であり、横断的錐構造を保存することが保証される。
• 正規化された空間の分岐構造は、元の擬多様体の層およびそれらのリンクに基づいて明示的に記述される。
• 正規化は、古典的族よりも厳密に大きなperversity族に対して交差ホモロジーを保存する。
• この方法は、最小限の調整で$C^{ u}$ 圏へ拡張可能であり、広範な適用可能性を示している。