[論文レビュー] On normal subgroups in the fundamental groups of complex surfaces

Michael Kapovich|ArXiv.org|Aug 18, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、特異的でない正則なファイブレーションが存在する場合、ある双曲的リーマン面への正則なファイブレーションを許す、双曲的リーマン面の基本群と有限生成な正規部分群からなる短完全系列に埋め込まれる、アーベル型のコンパクト複素表面の基本群が、そのような系列に適合するならば、その表面は特異的でない正則なファイブレーションを持つことを示している。主な貢献は、複素双曲的表面がこのようなファイブレーションを許さないことを証明し、結果として $PU(2,1)$ 内の非一様な格子の最初の例が得られ、Gromov-双曲的群がこのような短完全系列に適合できるかという長年の未解決問題が解決されたことにある。

ABSTRACT

We show that for each aspherical compact complex surface $X$ whose fundamental group $π$ fits into a short exact sequence $$ 1 o K o π o π_1(S) o 1 $$ where $S$ is a compact hyperbolic Riemann surface and the group $K$ is finitely-presentable, there is a complex structure on $S$ and a nonsingular holomorphic fibration $f: X o S$ which induces the above short exact sequence. In particular, the fundamental groups of compact complex-hyperbolic surfaces cannot fit into the above short exact sequence. As an application we give the first example of a non-coherent uniform lattice in $PU(2,1)$.

研究の動機と目的

• コンパクトなアーベル型複素表面の基本群が特定の短完全系列構造を持つ場合の制限を確立すること。
• 複素双曲的2次元空間の等長群である $PU(2,1)$ 内の非一様な格子の最初の例を構成すること。
• 質問1—Gromov-双曲的群が二つの閉じた双曲的リーマン面の基本群からなる短完全系列に適合できるか—が、$PU(2,1)$ 内の一様格子のクラスにおいて否定的であることを示すこと。
• 与えられた群論的条件下で、複素双曲的表面の基本群が双曲的リーマン面への正則なファイブレーションから生じえないことを証明すること。

提案手法

• 特異ファイバーの近傍における局所的および大域的モノドロミーの振る舞いを分析するため、Milnorのファイブレーションと正則写像の性質の利用。
• $L^2$ ベッチー数の適用と、$eta_1^{(2)}(Q) \neq 0$ の仮定により、$Q$ が双曲的リーマン面の基本群であることを保証する。
• 問題を、与えられた基本群の短完全系列を誘導する特異的でない正則なファイブレーション $f: X \to S$ の存在に還元する。
• Kodairaの分類定理の利用により、与えられた仮定のもとで $X$ が複素代数的表面であると導く。
• Livneの提示を用いて、正規で有限生成だが有限提示でない部分群 $K$ を持つ $PU(2,1)$ 内の一様格子 $ ilde{\rho}$ の構成。
• 背理法による証明：$K$ が有限提示可能であると仮定すると、正則なファイブレーションが得られるが、既知の結果により複素双曲的表面ではそれが不可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromov-双曲的群 $\pi$ が、$K$ と $Q$ がともに閉じた双曲的リーマン面の基本群である短完全系列 $1 \to K \to \pi \to Q \to 1$ に適合できるか。
• RQ2 複素双曲的表面は双曲的リーマン面への特異的でない正則なファイブレーションを持つか。
• RQ3 $PU(2,1)$ 内に非一様な格子で非一様なものが存在するか。
• RQ4 一様格子の正規部分群 $K$ が、商が双曲的リーマン面の基本群である場合、$K$ が有限提示可能である可能性はあるか。

主な発見

• アーベル型のコンパクト複素表面の基本群が、$S$ をコンパクトな双曲的リーマン面とし、$K$ が有限提示可能な短完全系列 $1 \to K \to \pi \to \pi_1(S) \to 1$ に適合するならば、$X$ は $S$ への特異的でない正則なファイブレーションを持つ。
• 複素双曲的表面はこのようなファイブレーションを持たないため、その基本群は $K$ が有限提示可能な場合にこのような短完全系列に適合できない。
• Livneの提示を用いて、正規で有限生成だが有限提示でない部分群を持つ、$PU(2,1)$ 内の非一様な格子の最初の例が構成された。
• 構成された格子における部分群 $K$ は有限提示でないことが、背理法により示された：有限提示可能性を仮定すると正則なファイブレーションが得られ、複素双曲的表面ではそれが不可能である。
• この結果は、$Q$ が torsion-free で、非ゼロの $L^2$ ベッチー数 $\beta_1^{(2)}(Q)$ を持ち、$X$ がカーラー多様体であるという仮定のもとで成り立つ。
• 証明は、$K$ が有限提示でなくても $FP_2$ 型である場合にまで拡張可能である。