[論文レビュー] On notions of representability for cylindric-polyadic algebras, and a solution to the finitizability problem for quantifier logics with equality

Tarek Sayed Ahmed|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 25被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、変換写像の豊富な部分半群 T を用いて、等式を含む円柱的・多項的代数のクラス CPEAT を導入し、このクラスにおける表現可能性がガarded意味論を介した具体的な集合代数表現と同値であることを示している。主な貢献は、T が有限に表現可能である場合に、一階論理の等式を含む論理における有限化問題が解決され、有限公理化可能かつ標準的性質を有することが示されたことである。

ABSTRACT

We consider countable so-called rich subsemigroups of ( ! !,◦); each such semigroup T gives a variety CPEAT that is axiomatizable by a finite schema of equations taken in a countable subsignature of that of !-dimensional cylindric- polyadic algebras with equality where substitutions are restricted to maps in T. It is shown that for any such T, A ∈ CPEAT ⇐⇒ A is representable as a concrete set algebra of !-ary relations. The operations in the signature are set-theoretically interpreted like in polyadic equality set algebras, but such operations are relativized to a union of cartesian spaces that are not necessarily disjoint. This is a form of guarding semantics. We show that CPEAT is canonical and atom-canonical. Imposing an extra condition on T, we prove that atomic algebras in CPEAT are completely representable and that CPEAT has the super amalgamation property. If T is rich and finitely represented, it is shown that CPEAT is term definitionally equivalent to a finitely axiomatizable Sahlqvist variety. Such semigroups exist. This can be regarded as a solution to the central finitizability problem in algebraic logic for first order logic with equality if we do not insist on full fledged commutativity of quantifiers. The finite dimensional case is approached from the view point of guarded and clique guarded (relativized) semantics of fragments of first order logic using finitely many variables. Both positive and negative results are presented.

研究の動機と目的

• 一階論理の等式を含む論理における中心的有限化問題に取り組む。
• 全量記号の可換性を要請しないで、一階論理を捉えることのできる、有限公理化可能な円柱的・多項的代数の等式を含む多様体を構築する。
• ガarded意味論を用いて、n-変数関係の具体的な集合代数として、この多様体における代数の表現可能性を確立する。
• T が豊富な半群である場合に、多様体 CPEAT が標準的かつアトム標準的であることを証明する。
• 原子的代数が完全に表現可能であり、T に追加の条件が満たされる場合に CPEAT が超結合性質を満たすことを示す。

提案手法

• 可算集合上の写像の半群の可算な豊富な部分半群 T を用いて構成する。
• CPEAT は、n 次元の円柱的・多項的代数の等式のフレームワーク内で、T から導かれる可算な記号のスクリプトにおける有限スキーマの等式によって公理化された多様体として定義される。
• CPEAT の演算は、多項的等式集合代数のものと同様に集合論的に解釈されるが、互いに素でない場合もある直積空間の和集合に相対化され、ガarded意味論の一種が実装される。
• 半群 T の性質とそれらから導かれる表現定理を活用することで、代数的構造が標準的かつアトム標準的であることが示される。
• T が有限に表現可能である場合、CPEAT は有限公理化可能な Sahlqvist 多様体と項定義的に同値である。これにより、有限公理化が可能になる。
• このアプローチは、有限個の変数を用いる一階論理の断片におけるガardedおよびクライブ・ガarded意味論を一般化し、モデル理論的および代数論理的枠組みの橋渡しを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全量記号の可換性を要請しないで、一階論理の等式を含む論理における有限化問題を解決できるか？
• RQ2 一階論理を具体的な集合表現を通じて捉えることのできる、有限公理化可能な円柱的・多項的代数の等式を含む多様体の有限公理化は可能か？
• RQ3 半群 T がどのような条件下で多様体 CPEAT が標準的かつアトム標準的であるか？
• RQ4 CPEAT が有限公理化可能な Sahlqvist 多様体と項定義的に同値であるのはどのような場合か？
• RQ5 原子的代数が完全に表現可能であり、CPEAT が超結合性質を満たすための条件は何か？

主な発見

• 任意の豊富な部分半群 T に対して、代数 A が CPEAT に属するための必要十分条件は、ガarded意味論のもとで A が n-変数関係の具体的な集合代数として表現可能であることである。
• 多様体 CPEAT は標準的かつアトム標準的であり、完全性や中間性に関する結果に不可欠な強い代数的性質を保証する。
• T が追加の条件を満たす場合、CPEAT の原子的代数は完全に表現可能であり、すべての原子が具体的な関係に対応する。
• T が豊富でかつ追加の条件を満たす場合、CPEAT は超結合性質を満たし、強いモデル理論的挙動を示す。
• T が豊富でかつ有限に表現可能な場合、CPEAT は有限公理化可能な Sahlqvist 多様体と項定義的に同値であり、この文脈における有限化問題が解決される。
• この枠組みにより、全量記号の可換性を要請しない一階論理の等式を含む論理における有限化問題が肯定的に解決される。