[論文レビュー] On numerical approximation of the Hamilton-Jacobi-transport system arising in high frequency approximations

Yves Achdou, Fabio Camilli+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、幾何光学や半古典的極限などの高周波数近似に生じる結合されたハミルトニアン・ジャコビ–輸送系を数値的に解くための半ラグランジュ有限要素スキームを提示する。このスキームは、弱い正則性仮定のもとで、粘性測度値解への収束を保証する。安定性および収束証明には、半凸性と片側リプシッツ条件が用いられる。

ABSTRACT

In the present article, we study the numerical approximation of a system of Hamilton-Jacobi and transport equations arising in geometrical optics. We consider a semi-Lagrangian scheme. We prove the well posedness of the discrete problem and the convergence of the approximated solution toward the viscosity-measure valued solution of the exact problem.

研究の動機と目的

• 高周波数近似に生じる結合されたハミルトニアン・ジャコビ–輸送系に対する安定的かつ収束性を有する数値スキームの開発。
• ハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解に起因する速度場の低正則性という課題に対処すること。
• 連続系の粘性測度値解への離散解の収束を確立すること。
• 粘性解の強い半凸性を要件としないで、離散的半凸性とOSL条件に依拠して安定性および収束性を保証すること。

提案手法

• ハミルトニアン・ジャコビ方程式に半ラグランジュ時間離散化を適用し、特徴線を時間反転して追跡する。
• 空間離散化に有限要素法を用い、正則な三角形分割上の一次多項式基底関数を採用する。
• スキームは解の離散的半凸性を保つため、弱い正則性仮定のもとで安定性を確保する。
• 片側リプシッツ（OSL）条件を離散レベルで満たすことで、輸送方程式の測度解の存在および一意性を保証する。
• 収束証明は、離散的特徴線の同調連続性およびフィリッポフ特徴線の安定性に依拠する。
• 完全に離散化されたスキームを構築・解析し、弱いコンパクトネスおよび一貫性の議論により収束を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合されたHJ-輸送系の粘性測度解への収束を示す半ラグランジュ有限要素スキームを構築可能か？
• RQ2 ハミルトニアン・ジャコビ方程式の粘性解に起因して速度場が僅かに$L^∞$にしかならない場合、数値的安定性をどのように確保できるか？
• RQ3 スキームは離散レベルでも半凸性の性質を保つことができるか？これにより、正確な解の強い正則性仮定なしに収束を可能にするか？
• RQ4 正確な解が半凸性を欠いても、離散レベルで片側リプシッツ（OSL）条件を満たすことができるか？
• RQ5 フィリッポフ特徴線は、数値スキームが測度値解へ収束することを証明する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 離散問題は適切に定式化されており、スキームは初期データの離散的半凸性を保つ。
• 速度場が僅かに$L^∞$である場合でさえ、数値解は連続系の粘性測度値解へ収束する。
• 参考ケース$a(x,p)=p$では、離散レベルで片側リプシッツ（OSL）条件が自動的に満たされ、輸送方程式の安定性が保証される。
• 収束証明は、離散的特徴線の同調連続性および関連する測度解の安定性に依拠する。
• 弱い正則性仮定のもとで、粘性測度解の存在および一意性に関する新たな結果を提供する。
• 本手法は、半古典的シュレーディンガー方程式およびヘルムホルツ方程式に生じる系、および高周波数波動伝播に応用可能である。