[論文レビュー] On numerical solutions to stochastic Volterra equations

Anna Karczewska, P. Rozmej|ArXiv.org|Sep 2, 2004

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、解消理論と確率的畳み込み近似を用いて、確率的および決定的ボルテラ方程式を解くガレルキンに基づく数値手法を提示する。α=1およびα=2の場合に小さな誤差で収束を示し、ウィーナー過程の離散化とエルミート多項式射影を用いて確率積分の明示的公式を提供する。

ABSTRACT

The aim of the paper is to demonstrate the use of the Galerkin method for some kind of Volterra equations, determininistic and stochastic as well. The paper consists of two parts: the theoretical and numerical one. In the first part we recall some apparently well-known results concerning the Volterra equations under consideration. In the second one we describe a numerical algorithm used and next present some examples of numerical solutions in order to illustrate the pertinent features of the technique used in the paper.

研究の動機と目的

• 非マルコフ的で記憶依存性のあるカーネルを有する確率的ボルテラ方程式を解くための数値アルゴリズムの開発。
• ヒルベルト空間射影を用いて、解消族とガレルキン法を確率的ボルテラ方程式に拡張すること。
• 特定のカーネル関数（α=1, α=2）に対して、数値スキームの収束性と精度を分析すること。
• ウィーナー過程の離散化を用いて、確率的畳み込み積分の明示的計算式を提供すること。
• ガウス初期データと加法的ノイズを含む数値例を用いて手法を提示すること。

提案手法

• カーネル a(t) と作用素 A を用いて定義される解消族 S(t) を用いて、確率的ボルテラ方程式の弱解を定式化する。
• L²(ℝ) の有限次元部分空間において、基底関数 {e_k} を用い、方程式を {e_1, ..., e_n} の張る空間に射影するガレルキン法を適用する。
• 時間領域を I 個の区間に分割し、τ = T/I とし、確率積分を独立な標準正規乱数 ζ_i による和で近似する。
• α=1 および α=2 の場合に、解消カーネル φ_α(t,x) の閉形式表現を導出し、確率的畳み込みの解析的評価を可能にする。
• 解消の畳み込み性を用いて、確率積分をガウス分布の重み付き和（α=1）またはデルタ関数の組み合わせ（α=2）として計算する。
• ガレルキン射影から生じる大きな線形方程式系（1208×1208）を解くために、LU分解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記憶カーネルを有する確率的ボルテラ方程式に対して、ガレルキン法を効果的に適応できるか？
• RQ2 解消が解析的に既知の場合（例：α=1,2）、数値解の精度はどの程度か？
• RQ3 分数階または多項式カーネルの場合、確率的畳み込み積分の挙動はいかなるものか？
• RQ4 時間および空間離散化のスケーリングに伴い、異なるカーネルタイプに対して数値誤差はどのように変化するか？
• RQ5 確率積分の明示的公式を導出し、数値スキームに効率的に実装できるか？

主な発見

• α=1 および α=2 の場合、時間区間 [0,6] 全体にわたり、決定的ボルテラ方程式の数値解が比較的小さな誤差を示す。
• 確率的畳み込み積分は、標準正規乱数と解析的に導出されたカーネル（α=1 ではガウス分布、α=2 ではガウス分布の和）を含む和として明示的に計算される。
• 空間区間 m=150（h=0.2）および基底関数 n=8 を用いた場合、1208×1208 の線形方程式系が得られ、安定した数値解が得られる。
• 確率的経路は、決定的解と確率的積分の和として構築され、ノイズ強度 C=0.1 が設定されている。
• 解消に基づく統合とガレルキン射影を用いることで、方程式の非マルコフ的性質を効果的に扱える。
• 確率的成分のための独立な標準正規乱数の信頼性ある生成には、サブルーチン gasdev および ran1 が使用されている。