[論文レビュー] On numerically hypercyclic operators

Stanislav Shkarin|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数値的超的線形作用素に関する未解決問題を解消する。具体的には、その平方が数値的超的でない作用素の構成、および2つの数値的軌道の和集合がℂで稠密であるが自体は数値的超的でない作用素の構成を行う。ℂ²上の数値的超的作用素を特徴づけ、それらの類似および共役類を特定し、再帰的バナッハ空間上での数値的超的作用素の集合の作用素ノルム閉包に関するスペクトル的基準を提示する。

ABSTRACT

According to Kim, Peris and Song, a continuous linear operator $T$ on a complex Banach space $X$ is called {\it numerically hypercyclic} if the numerical orbit $\{f(T^nx):n\in\N\}$ is dense in $\C$ for some $x\in X$ and $f\in X^*$ satisfying $\|x\|=\|f\|=f(x)=1$. They have characterized numerically hypercyclic weighted shifts and provided an example of a numerically hypercyclic operator on $\C^2$. We answer two questions of Kim, Peris and Song. Namely, we construct a numerically hypercyclic operator, whose square is not numerically hypercyclic as well as an operator which is not numerically hypercyclic but has two numerical orbits whose union is dense in $\C$. We characterize numerically hypercyclic operators on $\C^2$ as well as the operators similar to a numerically hypercyclic one and those operators whose conjugacy class consists entirely of numerically hypercyclic operators. We describe in spectral terms the operator norm closure of the set of numerically hypercyclic operators on a reflexive Banach space. Finally, we provide criteria for numeric hypercyclicity and decide upon the numerical hypercyclicity of operators from various classes.

研究の動機と目的

• キム、ペリス、ソンが提起した、数値的超的作用素の平方および数値的軌道の和集合に関する2つの未解決問題を解消すること。
• スペクトル的および力学的性質を用いて、ℂ²上での数値的超的作用素を特徴づけること。
• 数値的超的作用素に類似または共役である作用素を特定し、再帰的バナッハ空間上でのそのような作用素の集合の作用素ノルム閉包を記述すること。
• 数値的超的作用素のためのスペクトル的基準を提示し、さまざまな作用素クラスにおける超的性の有無を同定すること。

提案手法

• スペクトル分解と固有値解析を用いて、ℂ²上に数値的超的ベクトルをもつ特定の作用素を構成する。
• 数値的軌道 O(T,x,f) = {f(Tⁿx) : n ∈ ℕ} の概念を用い、(x,f) ∈ Π(X) に対してℂにおける稠密性を分析する。
• スペクトル理論を応用し、再帰的バナッハ空間上での数値的超的作用素の集合の閉包をスペクトル的条件によって特徴づける。
• L²[0,1] 上のボルテラ作用素 V を用いて反例を構成し、⟨Tⁿf,f⟩ の実部を分析することで、ℂにおける非稠密性を示す。
• 対角作用素に対して、{∑cⱼₙλⱼₙᵏ : k ∈ ℕ} ⊂ ℂ がℂで稠密であるという条件を用いて、強い数値的超的性の基準を確立する。
• 関数解析的計算および作用素の類似性を用い、特に r > 1 および r(I - cV) の作用素に対して、弱および強い数値的超的性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間上に、その平方が数値的超的でない数値的超的作用素が存在するか？
• RQ2 2つの数値的軌道の和集合がℂで稠密であるが、自体は数値的超的でない作用素は存在するか？
• RQ3 ℂ²上での数値的超的作用素の完全な特徴づけは何か？
• RQ4 数値的超的作用素に類似または共役である作用素はどれか？
• RQ5 再帰的バナッハ空間上での数値的超的作用素の集合の作用素ノルム閉包は、スペクトル的観点からどのように記述できるか？

主な発見

• キム、ペリス、ソンの問いに肯定的に応える形で、ℂ²上にその平方が数値的超的でない数値的超的作用素が存在する。
• ℂ²上での作用素が数値的超的であるための必要十分条件は、スペクトルに |λ₁| = |λ₂| = 1 かつ arg(λ₁), arg(λ₂) がℚ上一次独立であるような2つの固有値 λ₁, λ₂ を含むことである。
• 再帰的バナッハ空間上での数値的超的作用素の集合が作用素ノルム位相で閉じていることと、その閉包に関するスペクトル的条件が満たされていることは同値である。
• r > 1 に対して、L²[0,1] 上の作用素 T = re⁻ᵛ は、数値的軌道が右半平面に存在するため、ℂで稠密でない。よって、数値的超的でない。
• r > 1 に対して、r(I - cV) は弱い意味で数値的超的であるが、強い意味では数値的超的でない。これは、弱と強い数値的超的性の間に厳密な階層が存在することを示している。
• スペクトルデータと固有値分布を用いて、{∑cⱼₙλⱼₙᵏ : k ∈ ℕ} ⊂ ℂ がℂで稠密であることを保証することで、ℓ²(A × ℕ) 上に強い意味での数値的超的対角作用素を構成する。