[論文レビュー] On OBDDs for CNFs of bounded treewidth

Igor Razgon|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、CNFの原始的グラフの木幅が有界である場合の順序付き2分決定図（OBDD）が、SDD や DNNF のような関連する知識コンpilation形式と同様に、$ f(k)n^c $ の形をした固定パrameter tractable なサイズ境界を達成できないことを確立している。CNF の木幅が $ k $ の場合、OBDD サイズに $ \Omega(n^{k/4}) $ の下界を示し、SDD とはパラメータ化された分離を示し、木幅が有界であっても OBDD は多項式的上界を越えて成長しうることを示している。一方、SDD は多項式的上界を保っている。

ABSTRACT

In this paper we show that a CNF cannot be compiled into an Ordered Binary Decision Diagram (OBDD) of fixed-parameter size parameterized by the primal graph treewidth of the CNF. Thus we provide a parameterized separation between OBDDs and Sentential Decision Diagrams (SDDs) for which such fixed-parameter compilation is possible. In fact, we demonstrate that the proposed lower bound also yields a classical (non-parameterized) separation of OBDDs and SDDs. We also show that the best existing parameterized upper bound for OBDDs in fact holds for incidence graph treewidth parameterization.

研究の動機と目的

• 原始的グラフの木幅が有界なCNFに対するOBDDが、SDD や DNNF と同様に固定パrameter tractable なサイズ境界を有するかどうかを調査すること。
• パラメータ $ k $ を木幅として、OBDD サイズが $ f(k)n^c $ の形に有界であるかどうかという未解決の問題を解明すること。
• パラメータ化された複雑さと古典的複雑さの両設定において、OBDD と SDD の間の分離を確立すること。
• 原始的グラフの木幅ではなく、インシデントグラフの木幅を $ k $ として用いることで、OBDD の $ O(n^k) $ 上界を強化できるかどうかを調査すること。

提案手法

• グラフのマッチング幅の概念を導入し、それが任意の変数プレフィックス割り当てにおける異なる関数の数を下界づけることを証明する。これにより、OBDD サイズの下界が得られる。
• 原始的グラフの木幅が最大 $ k $ である無限に多くのCNFの族を構築し、それらのマッチング幅が $ \Omega(\log n \cdot k) $ であることを示し、これにより $ \Omega(n^{k/4}) $ のOBDDサイズ下界が導かれる。
• インシデントグラフのパス幅が $ p $ である場合、パス分解と変数プレフィックス上の関数数え上げを用いて、OBDD サイズが $ O(2^p n) $ であることを証明する。
• 木幅とパス幅の間の既知の関係 $ p = O(k \log n) $ を用いて、インシデントグラフのパス幅から $ O(n^k) $ の上界を導出する。
• 結合幅パラメータを分析し、それがカット幅やパス幅よりもはるかに小さくなる可能性があることを示し、$ O(2^w n) $ のOBDDサイズ上界を導出することを示す。
• $ k = \log n $ であるCNFのクラスを構築し、これによりOBDDサイズが $ n^{\Omega(\log n)} $ になるが、SDDサイズは $ O(n^3) $ のままであることを示し、古典的分離を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原始的グラフの木幅が有界なCNFに対するOBDDは、$ f(k)n^c $ の形をした固定パrameter tractable なサイズ境界を達成できるか？
• RQ2 知識コンパイルの複雑さにおいて、OBDD と SDD の間でパラメータ化された分離が存在するか？
• RQ3 OBDD の $ O(n^k) $ 上界が、原始的グラフではなくインシデントグラフの木幅を $ k $ として用いる場合にも成り立つか？
• RQ4 原始的グラフの木幅が有界であっても、OBDD サイズが超多項式的になることはあり得るか？
• RQ5 インシデントグラフの木幅と結合幅パラメータの間の関係は、OBDD サイズにどのように影響するか？

主な発見

• この論文は、原始的グラフの木幅が最大 $ k $ であるCNFに対するOBDDサイズに、$ \Omega(n^{k/4}) $ の下界を確立し、すべての固定された $ k $ に対して、$ f(k)n^c $ の形をした固定パrameter tractable な境界が存在しないことを示している。
• この下界は、指数部における $ k $ に対する非線形依存が排除されることを意味し、大きな定数 $ C $ に対しても $ n^{k/C} $ の境界でさえも排除されることを示している。
• 無限に多くのCNFの族を構築し、そのOBDDサイズが $ n^{\Omega(\log n)} $ であるが、SDDサイズは $ O(n^3) $ のままであることを示し、OBDDとSDDの間の古典的分離を証明している。
• OBDD の $ O(n^k) $ 上界が、原始的グラフの木幅ではなくインシデントグラフの木幅を $ k $ として用いる場合にも成り立つことを強化している。
• インシデントグラフのパス幅が $ p $ である場合、OBDDサイズが $ O(2^p n) $ であることを証明し、$ p = O(k \log n) $ であることから、$ O(n^k) $ の上界が再現されることを示している。
• 結合幅パラメータがOBDDサイズの有効なパラメータであることを示し、$ O(2^w n) $ のサイズ上界を導出している。また、カット幅やパス幅よりもはるかに小さくなる可能性があるため、コンパイルの改善が期待できる。