[論文レビュー] On one class of functions with complicated local structure

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2015

advanced mathematical theories参考文献 1被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、s進数または負のs進数の桁ブロックに対する全単射変換を用いて定義される関数の族 $\Lambda_s$ を導入し、その関数は複雑な局所構造を示す。関数は固定長 $k$ の桁グループに対するブロックワイズ置換 $\theta$ を用いて構成され、主な結果として、ほぼすべてのこのような関数は連続であり、至る所で微分可能ではなく、グラフのハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は 1 であり、定義域上でルベーグ積分は $\frac{1}{2}$ であることが示される。

ABSTRACT

We introduce a class $Λ_{s}$ of functions with complicated local structure. Any function from the class belongs to one of three specifically defined types $f^s _k$, $f_+$, and $f^{-1} _+$ or is a specifically defined composition of two or three functions of these types. Differential, integral, fractal and other properties of such functions are investigated. In particular, all functions $f$ from $Λ_{s}$ such that $f(x) e x$, $f(x) e -\frac{s-1}{s+1}-x$ and $f(x) e 1-x$ are nonmonotonic and nowhere differentiable. The Hausdorff--Besicovitch dimension of a plot of each $f \in Λ_s$ is equal to $1,$ and the Lebesgue integral of $f$ is equal to $\frac 1 2$. The proof of these statements for the compositions and the corresponding proofs for $f^s _k$, $f_+$, and $f^{-1} _+$ are similar.

研究の動機と目的

• s進数または負のs進数の数値系における桁ごとの変換によって生じる複雑な局所的挙動を示す新しい実関数の族 $\Lambda_s$ を定義し、その分析を行うこと。
• 関数 $\Lambda_s$ が通常は連続であり、至る所で微分可能ではなく、自己相似的なフラクタル的グラフを持つことの確立。
• $\Lambda_s$ に属する各関数のグラフのハウスドルフ＝ベシコビッチ次元を計算し、それが常に 1 であることを示すこと。
• 関数 $\Lambda_s$ に属する任意の関数が、特定の変換 $\theta$ にかかわらず、定義域上でルベーグ積分の値が正確に $\frac{1}{2}$ に等しいことを証明すること。
• さまざまな関数型（$f^s_k$、$f_+$、$f^{-1}_+$ およびそれらの合成）の分析を、桁ブロック変換に基づく共通の枠組みで統合すること。

提案手法

• 入力 $x$ のs進数または負のs進数展開における $k$ 桁のブロックに、固定された全単射関数 $\theta$ を適用することで、$\Lambda_s$ に属する関数を定義する。
• 3つの基本関数型を構築する：$f^s_k$（ブロックワイズ置換）、$f_+$（s進数表現と負のs進数表現の間の切り替え）、$f^{-1}_+$（$f_+$ の逆関数）。
• これらの基本型の合成により $\Lambda_s$ のすべての関数を生成する。具体的には $f_+ \circ f^s_k$、$f^s_k \circ f^{-1}_+$、$f_+ \circ f^s_k \circ f^{-1}_+$ などの合成を含む。
• グラフの自己相似性と再帰的構造を用いて、ランク $m$ における被覆集合の極限解析により、ハウスドルフ＝ベシコビッチ次元を計算する。
• グラフの自己相似性を応用し、ルベーグ積分に関する関数方程式を導出し、それを解くことで $\int f(x)\,dx = \frac{1}{2}$ を示す。
• ランク $mk$ において、グラフが $s^{mk}$ 個の辺の長さが $s^{-mk}$ の正方形に収まることを活用し、$\widehat{H}_\alpha(\Gamma) = \varliminf_{m\to\infty} s^{mk} (\sqrt{2} s^{-mk})^\alpha$ を用いて次元を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 桁ブロック置換によって構成された $\Lambda_s$ の関数のグラフのフラクタル次元は何か？
• RQ2 関数 $\Lambda_s$ が至る所で微分可能でないための条件は何か？
• RQ3 関数 $\Lambda_s$ の任意の関数が定義域上でルベーグ積分の値は何か？
• RQ4 グラフの自己相似的性質は、ハウスドルフ＝ベシコビッチ次元の計算をどのように可能にするか？
• RQ5 基本関数型 $f^s_k$、$f_+$、$f^{-1}_+$ の合成は、微分不可能性や積分値といった主要な性質をどの程度保つのか？

主な発見

• 関数 $f \in \Lambda_s$ で、$f(x) \neq x$、$f(x) \neq -\frac{s-1}{s+1} - x$、$f(x) \neq 1 - x$ を満たすすべての関数は、至る所で微分可能でない。
• $\Lambda_s$ に属する任意の関数 $f$ のグラフのハウスドルフ＝ベシコビッチ次元は正確に 1 である。
• 任意の関数 $f \in \Lambda_s$ が定義域 $D(f)$ 上でルベーグ積分の値は正確に $\frac{1}{2}$ である。
• $f^s_k$、$f_+$、$f^{-1}_+$ およびそれらの合成のグラフの自己相似的構造により、次元と積分値が再帰的被覆と関数方程式を用いて計算可能である。
• 次元の結果は、$\varliminf_{m\to\infty} s^{mk} (\sqrt{2} s^{-mk})^\alpha \to 0$（$\alpha > 1$ のとき）であるため、臨界次元が 1 であることを示唆する。
• 自己相似的スケーリングと構成における対称性のおかげで、ルベーグ積分は $\Lambda_s$ のすべての関数に対して不変であり、合成に対しても同様に成り立つ。