[論文レビュー] On One-Parameter Catalan Arrays

J.A. Agapito, Ângela Mestre+2 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Aignerのカタラン三角形 $\boldsymbol{C}$ と一般化されたパスカル行列 $\boldsymbol{P}(r)$ の積として得られる一パrameter族のリーマン配列 $\boldsymbol{C}(r)$ を導入する。$\boldsymbol{C}(r)$ の第0列は、正の整数係数をもつ $r$ に関するモニック多項式から構成され、カタラン数を refining する。主な結果として、$\boldsymbol{C}(r)$ とチェビシェフ多項式、周期列、フィボナッチ数、整数のべき乗との間の組合せ的恒等式が、行列・ベクトル積を用いて導出される。

ABSTRACT

We present a parametric family of Riordan arrays which are obtained by multiplying any Riordan array with a generalized Pascal array. In particular, we focus on some interesting properties of one-parameter Catalan triangles. We obtain several combinatorial identities that involve two special Catalan matrices, the Chebyshev polynomials of the second kind, some periodic sequences, and the Fibonacci numbers.

研究の動機と目的

• Aignerのカタラン三角形 $\boldsymbol{C}$ と一般化パスカル行列 $\boldsymbol{P}(r)$ の積から得られるリーマン配列のパラメトリック族を研究すること。
• 得られた行列 $\boldsymbol{C}(r)$ の組合せ的・代数的性質、特に $r$ に関するモニック多項式で正の整数係数をもつ第0列の性質を分析すること。
• $\boldsymbol{C}(r)$ と古典的組合せ的数列（フィボナッチ数、チェビシェフ多項式、周期列）との関係を確立すること。
• $\boldsymbol{C}(r)$ を含む明示的な組合せ的恒等式を導出すること、例えば行列・ベクトル積によって整数のべき乗やフィボナッチ数が得られること。
• リーマン配列とシェッファー多項式の枠組みを用いて、カタラン関連行列に関する既知の結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• $\boldsymbol{P}(r)$ を一般化パスカル行列とし、$\boldsymbol{P}(0) = \boldsymbol{I}$、$\boldsymbol{P}(1) = \boldsymbol{P}$ を満たすものとして、$\boldsymbol{C}(r) = \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{P}(r)$ として $\boldsymbol{C}(r)$ を構成すること。
• リーマン配列の基本定理を用いて、$\boldsymbol{C}(r)$ を一変数多項式空間における基底変換行列として解釈すること。
• シェッファー多項式理論を応用し、シャピロ行列 $\boldsymbol{B}$ の逆行列と直交多項式、特に第二種チェビシェフ多項式との関係を明らかにすること。
• 行列 $\boldsymbol{B}$ が整数列に作用する仕組みを支配する多項式列 $p_n^{\boldsymbol{B}^{-1}}(x)$ の再帰的関係を導出すること。
• $x$ の特定の値（例：2, 3, 4, 5）における $p_n^{\boldsymbol{B}^{-1}}(x)$ の評価により、周期列や整数列（フィボナッチ数など）を生成すること。
• 二項係数の恒等式と行列の逆行列を用いて、フィボナッチ数を二項係数と $-5$ のべき乗で表す閉形式を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列 $\boldsymbol{C}(r) = \boldsymbol{C} \cdot \boldsymbol{P}(r)$ は、$r$ を変化させることで、古典的カタラン三角形 $\boldsymbol{C}$ と $\boldsymbol{B}$ をどのように一般化するか？
• RQ2 第0列 $\boldsymbol{C}(r)_{n,0}$ の代数的・組合せ的性質は何か、特に $r$ に関するモニック多項式で正の整数係数をもつ構造は？
• RQ3 行列 $\boldsymbol{B}$ と特定の数列（周期列、フィボナッチ数、自然数列など）との行列・ベクトル積が、整数のべき乗をどのように得るか？
• RQ4 シャピロ行列の逆行列 $\boldsymbol{B}^{-1}$ と直交多項式、特に第二種チェビシェフ多項式との関係は何か？
• RQ5 フィボナッチ数を含む組合せ的恒等式は、$x=5$ における多項式列の評価により、行列 $\boldsymbol{B}$ から導出可能か？

主な発見

• $\boldsymbol{C}(r)$ の第0列は、次数 $n$ の $r$ に関するモニック多項式から成り、正の整数係数をもち、$\boldsymbol{C}(r)_{n,0}$ の定数項はカタラン数 $C_n$ に等しい。
• $\boldsymbol{C}(1) = \boldsymbol{B}$ であり、$\boldsymbol{C}(0) = \boldsymbol{C}$ であるため、$\boldsymbol{C}(r)$ はAignerとShapiroのカタラン三角形の間を補間する。
• $x=2$ における多項式列 $p_n^{\boldsymbol{B}^{-1}}(x)$ の評価は周期4の列 $1,0,-1,0$ を与え、行列 $\boldsymbol{B}$ はベクトル $(1,0,-1,0,\dots)^T$ を $(1,2,4,8,\dots)^T$ に写像する。
• $x=3$ では、列 $p_n^{\boldsymbol{B}^{-1}}(3)$ は周期6の列 $1,1,0,-1,-1,0$ に等しく、$\boldsymbol{B}$ は $(1,1,0,-1,-1,\dots)^T$ を $(1,3,9,27,\dots)^T$ に写像する。
• $x=4$ では、列 $p_n^{\boldsymbol{B}^{-1}}(4)$ は自然数列 $n+1$ に等しく、$\boldsymbol{B}$ は $(1,2,3,4,\dots)^T$ を $(1,4,16,64,\dots)^T$ に写像する。これにより恒等式 $\sum_{k=0}^{n}\frac{(k+1)^2}{n+1}\binom{2n+2}{n-k} = 4^n$ が得られる。
• $x=5$ では、$p_n^{\boldsymbol{B}^{-1}}(5)$ は偶数番目のフィボナッチ数 $F_{2n+2}$ に等しく、$\boldsymbol{B}$ は $(1,3,8,21,55,\dots)^T$ を $(1,5,25,125,\dots)^T$ に写像する。これにより恒等式 $\sum_{k=0}^{n}\frac{k+1}{n+1}\binom{2n+2}{n-k}F_{2k+2} = 5^n$ が導かれる。