[論文レビュー] On One-way Functions and Kolmogorov Complexity

Wenbo Liu, Rafael Pass|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2020

Cryptography and Data Security参考文献 50被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一方向関数の存在と多項式時間制限付きコルモゴロフ・コンプレックスィティ（$K^{\ ext{poly}}$）のやや強い平均的困難さの間の同値性を確立する。一方向関数が存在するための必要十分条件は、任意の確率的多項式時間アルゴリズムが、$n$ ビット文字列のうち $1 - \frac{1}{p(n)}$ の割合以上で $K^{\text{poly}}$ を正しく計算できないことである。これは、基本的な秘密鍵暗号原素（例：擬似乱数生成子、デジタル署名、コミットメント方式）の実現可能性を特徴付ける、最初の自然でよく知られた問題を提供する。

ABSTRACT

We prove that the equivalence of two fundamental problems in the theory of computing. For every polynomial $t(n)\geq (1+\varepsilon)n, \varepsilon>0$, the following are equivalent: - One-way functions exists (which in turn is equivalent to the existence of secure private-key encryption schemes, digital signatures, pseudorandom generators, pseudorandom functions, commitment schemes, and more); - $t$-time bounded Kolmogorov Complexity, $K^t$, is mildly hard-on-average (i.e., there exists a polynomial $p(n)>0$ such that no PPT algorithm can compute $K^t$, for more than a $1-\frac{1}{p(n)}$ fraction of $n$-bit strings). In doing so, we present the first natural, and well-studied, computational problem characterizing the feasibility of the central private-key primitives and protocols in Cryptography.

研究の動機と目的

• 一方向関数の存在を特徴付ける自然で平均的困難な計算問題が存在するかという、長年の未解決問題を解消すること。
• 一方向関数の存在と $K^{\mathsf{poly}}$ コンプレックスィティの平均的困難さの間の直接的な同値性を確立すること。
• 中心的な秘密鍵暗号原素（例：擬似乱数生成子、デジタル署名、コミットメント方式）の実現可能性を、よく知られた複雑性理論的問題によって特徴付けること。
• 一方向関数が存在するための必要十分条件が $K^{\mathsf{poly}}$ がやや強い平均的困難さを持つことであることを示し、基礎的な暗号的仮定とアルゴリズム情報理論の中心的問題を結びつけること。

提案手法

• 一方向関数と $K^{\mathsf{poly}}$ コンプレックスィティから導かれるハードコア関数に基づいて、条件付き期待多項式時間擬似乱数生成子（cond EP-PRG）を構築する。
• パディングテクニックを用いて、特定の入力長での定義された cond EP-PRG を、すべての入力長にわたって定義されたレート1の効率的 cond EP-PRG に変換する。
• ハッシュ関数と GL ハードコア関数を用いて、エントロピー損失を制御し、出力が一様分布から区別不能なまま保たれるようにする。
• パラメータ変換を適用して、生成子の実行時間を入力長の多項式関数で抑え、誤差確率を無視できるほど小さく保証する。
• $K^{\mathsf{poly}}$ がやや強い平均的困難さを持つならば、$K^{\mathsf{poly}}$ を用いた普遍的構成により一方向関数を構築できることを活用する。
• $K^{\mathsf{poly}}$ の平均的困難さから一方向関数の存在への還元を用い、任意の効率的アルゴリズムが $K^{\mathsf{poly}}$ を破るならば、一方向関数の逆写像が可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一方向関数の存在を特徴付ける自然でよく知られた計算問題が存在するか？
• RQ2 $K^{\mathsf{poly}}$ コンプレックスィティの平均的困難さを用いて一方向関数を構築できるか？
• RQ3 $K^{\mathsf{poly}}$ のやや強い平均的困難さと一方向関数の存在が同値であるか？
• RQ4 レート1の効率的 cond EP-PRG を $K^{\mathsf{poly}}$ の困難さから構築できるか？
• RQ5 一方向関数が存在するならば、$K^{\mathsf{poly}}$ はやや強い平均的困難さを持つと示せるか？

主な発見

• 一方向関数が存在するための必要十分条件は、$K^{\mathsf{poly}}$ がやや強い平均的困難さを持つことである。これは、複雑性理論と暗号理論の両分野における2つの基本的問題の間のきわめてタイトな同値性を確立する。
• 一方向関数が存在するならば、$K^{\mathsf{poly}}$ がやや強い平均的困難さを持つならば、擬似乱数生成子、デジタル署名、コミットメント方式を含むすべての標準的な秘密鍵暗号原素が存在する。
• レート1の効率的 $\mu$-cond EP-PRG を $\mu(n) = \frac{1}{n^2}$ に対して構築した。これは、構成が効率的かつ $K^{\mathsf{poly}}$ の困難さの下で安全であることを示している。
• cond EP-PRG の構築により、実行時間が入力長の多項式関数で抑えられ、誤差確率が無視できるほど小さいことが保証される。
• 生成子のエントロピー損失は制御され、定数倍の $\log n$ で抑えられており、複数回の適用後でも出力が擬似乱数的であることが保証される。
• 本論文は、$K^{\mathsf{poly}}$ が Minicrypt 原素の実現可能性を特徴付ける最初の自然でよく知られた問題であることを示し、長年の未解決問題を解決した。