[論文レビュー] On Operator Valued Measures

Darian McLaren, Sarah Plosker+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、無限次元ヒルベルト空間上の正の作用素値測度（POVM）に対して、古典的測度論の結果—ルベーグ分解およびジョンソン分解—を一般化する。通常の正定値性仮定を緩和し、量子状態に対するPOVMのラドン＝ニコディム導関数を定義し、絶対連続性、クリーン性、および原子的／非原子的分解との関係を確立する。また、クリーン同値性が非原子性を保存することを証明する。

ABSTRACT

We consider positive operator valued measures whose image is the bounded operators acting on an infinite-dimensional Hilbert space, and we relax, when possible, the usual assumption of positivity of the operator valued measure seen in the quantum information theory literature. We define the Radon-Nikodym derivative of a positive operator valued measure with respect to a complex measure induced by a given quantum state; this derivative does not always exist when the Hilbert space is infinite dimensional in so much as its range may include unbounded operators. We define integrability of a positive quantum random variable with respect to a positive operator valued measure. Emphasis is put on the structure of operator valued measures, and we develop positive operator valued versions of the Lebesque decomposition theorem and Johnson's atomic and nonatomic decomposition theorem. Beyond these generalizations, we make connections between absolute continuity and the "cleanness" relation defined on positive operator valued measures as well as to the notion of atomic and nonatomic measures.

研究の動機と目的

• 無限次元ヒルベルト空間における作用素値測度に対して、古典的分解定理（ルベーグおよびジョンソン）を拡張すること。
• POVMにおける量子情報理論の標準的正定値性仮定を緩和し、より広範な数学的解析を可能にすること。
• 量子状態に対するPOVMのラドン＝ニコディム導関数を定義・研究すること。特に、無限次元では有界でない作用素が生じる可能性がある場合にも対応すること。
• 絶対連続性、'クリーン性'関係、および量子確率測度の原子的／非原子的構造との関係を明確にすること。

提案手法

• Borel集合から無限次元ヒルベルト空間上の有界作用素への弱可算加法的写像として作用素値測度（OVM）を定義する。
• 量子状態によって誘導される複素測度に対するPOVMのラドン＝ニコディム導関数を導入する。無限次元では、これが有界でない作用素を生じる可能性があることに注意する。
• 参照測度に関してPOVMを絶対連続部と特異部に分離する、POVM版のルベーグ分解定理を構築する。
• ジョンソンの分解の作用素値版を確立し、POVMを原子的部と非原子的部に分割する。
• 量子情報理論におけるクリーン順序関係を用いて、POVMの構造的性質を分析する。特に、絶対連続性との関係に注目する。
• クリーン同値性が非原子性を保存することを証明する。すなわち、ある測度が非原子的であれば、他方の測度に対しても非原子的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ルベーグ分解定理は、無限次元ヒルベルト空間上の正の作用素値測度へ一般化可能か？
• RQ2 量子状態に対するPOVMのラドン＝ニコディム導関数は、どのような条件下で存在するか？また、無限次元では有界でない可能性があるのはいつか？
• RQ3 量子確率測度の文脈において、絶対連続性と'クリーン性'の概念はどのように関係するか？
• RQ4 測度の原子的／非原子的成分へのジョンソン分解が、作用素値測度へ拡張可能か？
• RQ5 量子確率測度の原子的または非原子的性質は、クリーン同値性の下でも不変か？

主な発見

• ルベーグ分解定理がPOVMへ一般化され、参照測度に関してPOVMを絶対連続部と特異部に分解可能であることが示された。
• 量子状態に対するPOVMのラドン＝ニコディム導関数は存在するが、ヒルベルト空間が無限次元である場合には、有界でない作用素を生じる可能性がある。
• ジョンソン分解の正の作用素値版が確立され、POVMが原子的部と非原子的部に分割可能であることが示された。
• 量子確率測度間のクリーン同値性は非原子性を保存する。すなわち、片方が非原子的であれば、他方も非原子的である。
• 情報的に完全な量子確率測度は、互いに特異な測度の和として、線形独立な正の作用素の重み付き和（総和が恒等作用素に等しい）により構成可能である。
• 原子的または非原子的であることの性質は、測定空間を一意に決定しない。同一の作用素系が、原子的測度と非原子的測度の両方を支持することが可能である。