[論文レビュー] On optimal finite element schemes for biharmonic equation

Shuo Zhang|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、平面のバイハーモニック方程式に対して、区分的3次および4次多項式を用いた2つの非適合有限要素スキームを構築し、一般の形状正則な三角形分割においてエネルギーノルムで最適収束率 $Θ(h^2)$ および $Θ(h^3)$ を達成した。これらのスキームは離散化されたストークス複体に基づいており、$Θ^1$-適合要素の制限を克服するため、界面連続性制約によって一貫性を確保し、特別なグリッド構造を必要としない最適近似を可能にした。

ABSTRACT

In this paper, two nonconforming finite element schemes that use piecewise cubic and piecewise quartic polynomials respectively are constructed for the planar biharmonic equation with optimal convergence rates on general shape-regular triangulations. Therefore, it is proved that optimal finite element schemes of arbitrary order for planar biharmonic equation can be constructed on general shape-regular triangulations.

研究の動機と目的

• 多項式次数 $k=3$ および $k=4$ を持つ平面バイハーモニック方程式に対する最適有限要素スキームのギャップを埋める。
• 制限の厳しいグリッド仮定を回避し、一般の形状正則な三角形分割において最適収束率を達成するスキームを開発する。
• 局所基底関数が利用できないため、Ciarletの三重組による定義が不可能な過剰連続性制約を持つ有限要素空間を構築し、間接的理論的手法を要する。
• 任意の次数の最適スキームが一般の三角形分割上で平面バイハーモニック方程式に対して構築可能であることを示す。
• 局所基底関数が存在しない状況においても安定性と一貫性を保証するため、離散化されたストークス複体を用いたフレームワークを確立する。

提案手法

• 細胞の辺上で連続性制約を課した区分的3次および4次多項式を用いた2つの非適合有限要素空間 $B_h^3$ および $B_h^4$ を構築する。
• 界面連続性条件を課す：$\int_e \llbracket w_h \rrbracket p_e = 0$（$p_e \in P_{k-3}(e)$ に対して）および $\int_e q_e \llbracket \partial_n w_h \rrbracket = 0$（$q_e \in P_{k-2}(e)$ に対して）、これにより一貫性と最適近似が保証される。
• 離散化されたストークス複体を構造的フレームワークとして用い、有限要素空間の定義と解析を行う。局所基底関数の直接構成に代わるものである。
• ポisson方程式の解法、ストークスに類似した系の解法、最終的なヘッセ行列回復の3段階手順を採用し、スキームがガラーキン解と一致することを保証する。
• 一般グリッド上でのFortin-SoulieおよびCrouziex-Falkのペアの安定性を活用し、離散系の最適収束性と適切な定義を保証する。
• スキームが効率的に実装可能で最適に解けることを示し、内部ペナルティを連続性制約に置き換えることで、ディスコンティンダスガレルキン法に類似した実装が可能であることを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の形状正則な三角形分割上で、平面バイハーモニック方程式に対して任意の次数の最適有限要素スキームを構築可能か？
• RQ2 区分的多項式次数 $k=3$ および $k=4$ を持つ非適合有限要素空間が、特別なグリッド構造を要せず、最適収束率を達成可能か？
• RQ3 局所基底関数が利用できない状況で、過剰連続性制約を持つ有限要素空間をどのように構築・解析できるか？
• RQ4 離散化されたストークス複体は、非適合バイハーモニックスキームの最適近似と安定性を実現するために果たす役割は何か？
• RQ5 提案スキームとディスコンティンダスガレルキン法との間に、実装および漸近的挙動の面で構造的関連性は存在するか？

主な発見

• 提案された $B_h^3$ および $B_h^4$ 有限要素空間は、一般の形状正則な三角形分割においてエネルギーノルムで最適収束率 $Θ(h^2)$ および $Θ(h^3)$ を達成した。
• 一般グリッド上でのFortin-SoulieおよびCrouziex-Falkストークスペアの安定性に基づき、スキームは安定かつ適切に定義された。
• 過剰連続性制約のため、Ciarletの三重組による定義が不可能であり、離散化されたストークス複体を介した間接的構成が不可避であった。
• 収束解析は誤差推定にとどまらず、有限要素空間の近似性質の証明にも用いられ、標準的な補間に基づくアプローチとは異なる。
• スキームは効率的に実装可能で最適に解けることが示され、内部ペナルティを連続性制約に置き換えることで、ディスコンティンダスガレルキン法に類似した実装が可能である。
• $k \geq 2$ に対する空間族 $B_h^k$ はモーリー要素を一般化しており、任意の $k \geq 2$ および高次元への拡張が可能である可能性を示唆し、より広範な理論的枠組みを示唆している。