[論文レビュー] On optimization of coherent and incoherent controls for two-level quantum systems

О. В. Моржин, Alexander Pechen|arXiv (Cornell University)|May 5, 2022

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ひとこと要約

本稿では、2レベルの開放量子系における2段階最適制御法を修正し、第1段階の定常非干渉的制御を数値最適化された区分定数非干渉的制御に置き換える手法を提案する。システム状態、目的関数、勾配の正確な解析的表現を導出することで、高精度を維持したまま第1段階の持続時間を最大数倍短縮可能であり、2段階勾配射影法（GPM-2）を用いる。

ABSTRACT

This article considers some control problems for closed and open two-level quantum systems. The closed system's dynamics is governed by the Schrödinger equation with coherent control. The open system's dynamics is governed by the Gorini-Kossakowski-Sudarshan-Lindblad master equation whose Hamiltonian depends on coherent control and superoperator of dissipation depends on incoherent control. For the closed system, we consider the problem for generation of the phase shift gate for some values of phases and final times for which numerically show that zero coherent control, which is a stationary point of the objective functional, is not optimal; it gives an example of subtle point for practical solving problems of quantum control. For the open system, in the two-stage method which was developed for generic N-level quantum systems in [Pechen A., Phys. Rev. A., 84, 042106 (2011)] for approximate generation of a target density matrix, here we consider the two-level systems for which modify the first ("incoherent") stage by numerically optimizing piecewise constant incoherent control instead of using constant incoherent control analytically computed using eigenvalues of the target density matrix. Exact analytical formulas are derived for the system's state evolution, the objective functions and their gradients for the modified first stage. These formulas are applied in the two-step gradient projection method. The numerical simulations show that the modified first stage's duration can be significantly less than the unmodified first stage's duration, but at the cost of optimization in the class of piecewise constant controls.

研究の動機と目的

• 2レベルの開放量子系における目標密度行列の準備を目的とした、非干渉的制御段階の持続時間の最小化という課題に対処すること。
• 目標状態の固有値に基づいて解析的に計算された定常非干渉的制御に依存する標準的な2段階法の制限を克服すること。
• 区分定数非干渉的制御を用いた数値最適化の代替手法を開発し、より迅速な状態準備を実現すること。
• 効率的な最適化を可能にするために、修正された第1段階におけるシステム状態、目的関数、勾配の正確な解析的公式を導出すること。
• 高精度を維持したまま第1段階の持続時間の短縮という観点から、性能向上を評価すること。

提案手法

• 第1段階における解析的に導出された定常非干渉的制御を、数値最適化された区分定数非干渉的制御に置き換える。
• Gorini–Kossakowski–Sudarshan–Lindblad（GKSL）マスター方程式を用いて、区分定数非干渉的制御下でのシステムの状態遷移の正確な解析的表現を導出する。
• 目的関数とその勾配を解析的に計算し、2段階GPM-2法における効率的な勾配ベース最適化を可能にする。
• 第2段階における協同的制御を最適化するために、勾配射影法（GPM-2）を適用し、修正された第1段階の状態を初期条件として用いる。
• 目的関数機能のFréchet微分を用いて、反復的最適化のための勾配増分を計算し、協同的制御の境界条件を満たすためにペナルティ項を導入する。
• GRAPE、微分進化、デュアルアニーリングを用いて数値最適化を実装し、制御の多様性を探索し、結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 区分定数非干渉的制御を用いることで、定常非干渉的制御と比較して2レベルの開放量子系における第1段階の持続時間を短縮できるか？
• RQ2 2段階制御フレームワークにおける非干渉的制御の数値最適化が、最終的な密度行列の忠実度に与える影響は何か？
• RQ3 目的関数の解析的勾配が、修正された第1段階における最適化の効率性と正確性をどのように向上させるか？
• RQ4 修正された2段階法は、時間要件を短縮したとしても、元の方法の収束特性を保持または向上させるか？
• RQ5 実験的制約が区分定数非干渉的制御を許容する場合、制御の複雑さ（区分定数対定常）と持続時間短縮のトレードオフは、どのような条件下で正当化されるか？

主な発見

• 区分定数非干渉的制御を用いた修正された第1段階は、定常非干渉的制御を用いた未修正の第1段階と比較して、最大数倍短い持続時間で実現可能である。
• 修正された第1段階におけるシステム状態、目的関数、勾配の正確な解析的表現が導出され、効率的な勾配ベース最適化が可能となった。
• 数値シミュレーションの結果、修正された手法は目標密度行列に対する高い忠実度を維持しており、テスト事例では目標状態との距離が$ 0.5\varepsilon_{\rm 2stage} $未満にまで低下した。
• 解析的勾配を用いた勾配射影法（GPM-2）は、収束速度において完全に確率的手法を上回る、強固で効率的な最適化を実現した。
• 特定のパrameter領域では、ゼロの協同的制御が位相シフトゲート生成において最適でないことが判明し、量子制御の多様性に非自明な構造が存在することが示された。
• 修正された手法は、特に実験的制約が区分定数非干渉的制御を許容する場合、制御の複雑さと時間効率の間で実用的なトレードオフを提供する。