[論文レビュー] On overlapping domain decomposition methods for high-contrast multiscale problems

Juan Galvis, Eric T. Chung+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高対比マルチスケール問題に対する新しい重複ドメイン分割法を提案する。局所スペクトル問題から導かれる最小次元のコarsespaceを用い、対比比およびメッシュサイズに依存しない条件数を達成する。これらのスペクトルコアスケールを大規模オーバースキャンの局所問題と組み合わせることで、反復回数をほぼ1にまで低減し、特に小さなコアスケールに対して顕著な効果を示す。

ABSTRACT

We review some important ideas in the design and analysis of robust overlapping domain decomposition algorithms for high-contrast multiscale problems and propose a domain decomposition method better performance in terms of the number of iterations. The main novelty of our approaches is the construction of coarse spaces, which are computed using spectral information of local bilinear forms. We present several approaches to incorporate the spectral information into the coarse problem in order to obtain minimal coarse space dimension. We show that using these coarse spaces, we can obtain a domain decomposition preconditioner with the condition number independent of contrast and small scales. To minimize further the number of iterations until convergence, we use this minimal dimensional coarse spaces in a construction combining them with large overlap local problems that take advantage of the possibility of localizing global fields orthogonal to the coarse space. We obtain a condition number close to 1 for the new method. We discuss possible drawbacks and further extensions.

研究の動機と目的

• 大規模な対比比に起因する不適切な条件数の問題を抱える古典的手法が困難である高対比マルチスケール問題に対して、強固な重複ドメイン分割プリコンディショナを構築すること。
• 局所双線形形式からのスペクトル情報を利用することで、ロバスト性を維持しつつコアスケールの次元を最小限に抑えること。
• 最小次元コアスケールと大規模オーバースキャンの局所サブドメイン問題を組み合わせることで、反復ソルバーの反復回数を削減すること。
• 安定分解を必要としない直接的な作用素ノルム推定を用いて、対比比および空間スケールに依存しない、プリコンディショニング系の条件数を1に近づけること。

提案手法

• 非局所的マルチスケール特徴（例：高伝導度チャネル）を捉えるために、局所双線形形式のスペクトル分解を用いて最小次元コアスケール（MDCS）を構築する。
• サブドメイン上の局所固有値問題から抽出したスペクトル基底関数を用いて、コアスケールを強化した重複加法的スワーツフレームワークを採用する。
• MDCSとオーバースキャンされた局所解を組み合わせたハイブリッドプリコンディショナを導入し、コアスケールに直交するグローバルな場を局所化する。
• 大きなオーバーラップサイズ（例：k ≥ 5層）を用いることで、残差誤差成分の局所化を可能にし、条件数を顕著に低減する。
• 安定分解を必要としない直接的な作用素ノルム推定を用いて、プリコンディショニング系の条件数に対する理論的上限を導出する。
• 有限要素離散化を用いて、細かいメッシュと粗いメッシュの両方で、高対比透水率場を有するダルシー流れ方程式に本手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所スペクトル問題から導かれる最小次元コアスケールが、高対比問題における重複ドメイン分割法で、対比比に依存しない条件数を達成できるか？
• RQ2 スペクトルコアスケールを用いる場合、オーバーラップサイズを大きくすることで、条件数および反復回数にどのような影響を与えるか？
• RQ3 MDCSと大規模オーバースキャンの組み合わせにより、残りの誤差成分を局所化し、条件数を1に近づけることができるか？
• RQ4 コアスケールのサイズが、本手法の効率性に与える影響は何か。特に、コアソルブコストと反復回数の観点から評価する。
• RQ5 安定分解を必要としない状況でも、本手法がロバストな収束を達成できるか？

主な発見

• 十分なオーバースキャンを用いることで、プリコンディショニング系の条件数が1に近づき、標準的手法に比べて収束性が顕著に向上する。
• コアメッシュサイズ H = 1/20、細かいメッシュ h = 1/200 の場合、6層のオーバースキャン（k = 6）を用いることでPCG反復回数が1回にまで低下するが、標準的なオーバーラップとMDCS単体では19回にのぼる。
• 固定されたオーバースキャンサイズ（k = 3）のもとで、対比比 η = 10³, 10⁴, 10⁵ のすべてにおいて反復回数が3回で一定に保たれ、対比比に依存しないことが示された。
• 最小次元コアスケールを用いながらも、大規模オーバースキャンを活用することで、サブドメインあたり3つの基底関数のみで反復回数を約19回（標準MDCS＋小規模オーバーラップ）から3回にまで削減できた。
• 条件数の理論的上限はスペクトルギャップ Λ とオーバースキャンサイズに依存し、Λ が0に近い状態でない限り、かつオーバースキャンが十分に大きい場合には、上限が1に近づく。
• 本手法は、コアメッシュが小さい場合に最も効果的であり、オーバースキャン領域の計算コストが管理可能で、コアソルブのコストも過剰に高まらないためである。