[論文レビュー] On $p$-adic absolute Hodge cohomology and syntomic coefficients, I

Frédéric Déglise, Nizio{\l}, Wies{\l}awa|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、p進絶対ホッジコホモロジーとしてのシントミックコホモロジーを、潜在的に半単純なガロア表現の導来圏における導来ホモロジーとして構成することによって確立する。モチーフ的ホモトピー論を用いてシントミック係数を導入し、正則かつ滑らかな多様体に対してシントミック降下スペクトル系列がE2で退化することを証明し、比較同型を伴う混合モチーフのp進実現を提供する。これは、良い還元および半単純還元の場合に先行する結果を一般化する。

ABSTRACT

We interpret syntomic cohomology of Nekov\'a\v{r}-Nizio{\l} as a $p$-adic absolute Hodge cohomology. This is analogous to the interpretation of Deligne-Beilinson cohomology as an absolute Hodge cohomology by Beilinson and generalizes the results of Bannai and Chiarellotto, Ciccioni, Mazzari in the good reduction case, and of Yamada in the semistable reduction case. This interpretation yields a simple construction of the syntomic descent spectral sequence and its degeneration for proper and smooth varieties. We introduce syntomic coefficients and show that in dimension zero they form a full triangulated subcategory of the derived category of potentially semistable Galois representations. Along the way, we obtain $p$-adic realizations of mixed motives including $p$-adic comparison isomorphisms. We apply this to the motivic fundamental group generalizing results of Olsson and Vologodsky.

研究の動機と目的

• シントミックコホモロジーを、ベイリンソンの絶対ホッジコホモロジーのp進版として解釈し、デリーニュ＝ベイリンソンコホモロジーをp進設定に拡張すること。
• p進ホッジ構造（適切なフィルトレーション付き(ϕ,N,GK)-加群）の導来圏を構成し、この圏における導来ホモロジーとしてシントミックコホモロジーを定義すること。
• シントミック係数を、モチーフ的dg代数Esyn上の加群として導入し、局所的系統を一般化してシントミックコホモロジーの係数系を可能にする。
• デリーニュの古典的議論を用いて、正則かつ滑らかな多様体に対してシントミック降下スペクトル系列がE2で退化することを証明すること。
• ノリおよびヴォエヴォズキーの混合モチーフの両方のp進実現を提供し、エタールおよびド・ラームコホモロジーとの比較同型を含むこと。

提案手法

• 特異ファイバー（フロベニウス作用およびモノドロミーを伴う）と一般ファイバー（ホッジフィルトレーションを伴う）のそれぞれの圏を貼り合わせることで、適切なp進ホッジ複体のdg圏を構成する。
• 複体RΓDFK(XK, r)を、フィルトレーション付き(ϕ,N,GK)-加群の導来圏から適切なp進ホッジ複体の導来圏へのt構造同型θ⁻¹による逆像として定義する。
• ベイリンソンの基本補題を用いて、分離とČech貼り合わせを介して、アフィン多様体に対して潜在的に半単純な複体を定義し、セルコホモロジーのp進版を構成する。
• シントミックコホモロジーをモチーフ的dg代数Esynを用いて表現し、ヴォエヴォズキーのモチーフM(X)に対してRΓsyn(X, r) = R HomDMh(K,Qp)(M(X), Esyn(r))が成り立つようにする。
• シントミック係数をEsyn加群として定義し、コホモロジーRΓH(X, M) = R HomEsyn−modX(Esyn,X, M)として表し、モチーフと整合性を持つようにする。
• p進比較定理（例：ベイリンソン＝ヒヨド＝カトウ）をモチーフ的レベルに持ち上げ、ギズイン準同型および積と整合性を持つようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シントミックコホモロジーは、デリーニュ＝ベイリンソンコホモロジーのp進版として、ベイリンソンの構成と類似したp進絶対ホッジコホモロジーとして解釈可能か？
• RQ2 p進ホッジモジュールを一般化し、6関手形式的を支えるように、シントミック係数を体系的に定義する方法は何か？
• RQ3 正則かつ滑らかな多様体に対して、シントミック降下スペクトル系列はE2で退化するか？ もしそうなら、その理由は何か？
• RQ4 混合モチーフのp進実現（ノリおよびヴォエヴォズキー）は、ガロア表現および比較同型とどのように関係するか？
• RQ5 幾何的、ノリ的幾何的、および構成可能p進ガロア表現の圏の構造的性質は何か？

主な発見

• r ≥ 0に対して、シントミックコホモロジーRΓsyn(X, r)は、RΓH(X, r) := R HomDb(DFK)(K(0), RΓDFK(XK, r))と同型であり、p進絶対ホッジコホモロジーとしての位置づけが確立される。
• 正則かつ滑らかなXに対して、シントミック降下スペクトル系列H^i_st(GK, H^j_ét(XK, Qp(r))) ⇒ H^{i+j}_H(X, r)は、ハード・レフシュツの定理によりE2で退化する。
• シントミック加群（Esyn加群）の圏は、潜在的に半単純なガロア表現の導来圏のフルな三角的部分圏をなす。
• p進実現関手RΓpst : Db(DFK) → Db(Reppst(GK))は、完全かつモチーフ的6関手形式的と整合性を持つ。
• 幾何的および構成可能なp進ガロア表現は、テンソル積およびねじれ作用に関して安定であり、すべてのH^i_ét(XK, Qp(r))（Xが滑らかで射影的である場合）を含む。
• 構成可能表現の圏Reppc(GK)は、すべての幾何的表現の潜在的に半単純な拡張を含み、拡張および再帰的射影に関して閉じている。