[論文レビュー] On $p$-adic $L$-functions for Hilbert modular forms

John Bergdall, David J. Hansen|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の総実体上で、小斜度や非臨界定義の仮定を必要とせずに、$p$-精錬されたコhomologicalヒルベルトモジュラー形式に対する正規化された $p$-進 $L$-関数を構成する。この構成は、過収束コホモロジーから局所解析的分布へのアデール的写像を用い、臨界定義点における固有値多様体の滑らかさを確立することで、$p$-進族全体にわたる特別値の補間を可能にする。

ABSTRACT

We construct $p$-adic $L$-functions associated with $p$-refined cohomological cuspidal Hilbert modular forms over any totally real field under a mild hypothesis. Our construction is canonical, varies naturally in $p$-adic families, and does not require any small slope or non-criticality assumptions on the $p$-refinement. The main new ingredients are an adelic definition of a canonical map from overconvergent cohomology to a space of locally analytic distributions on the relevant Galois group and a smoothness theorem for certain eigenvarieties at critically refined points.

研究の動機と目的

• 任意の総実体上で $p$-精錬されたコhomologicalヒルベルトモジュラー形式に対する正規化された $p$-進 $L$-関数を定義すること。
• 小斜度や非臨界定義の仮定といった制限的仮定を排除すること。
• $p$-進族全体にわたって $p$-進 $L$-関数が自然に変化することを保証すること。
• 構成が適切に動作するため、臨界定義点における固有値多様体の滑らかさを確立すること。
• コホモロジーから局所解析的分布への周期写像を、アデール的かつ正規化された形で構成すること。

提案手法

• ガロア群 $\Gamma_F$ 上の局所解析的分布への過収束コホモロジーからのアデール的定義による正規化写像。
• 固有値多様体の $p$-区別的で、適切な古典的点における滑らかさ定理を用いて補間を保証する。
• 周期写像を用いた代数的特別値の補間により $p$-進 $L$-関数を構成する。
• 局所解析的分布と $p$-進ねじれを用いて $p$-進補間による $L$-値の取り扱いを行う。
• $(\varphi,\Gamma)$-加群と三角分解可能表現の変形理論を用いて局所ガロア表現を制御する。
• ホッシャルド＝サーレのスペクトル系列とポアンカレ双対性を用いて、$\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$-像をもつガロア表現に対して、コホモロジーが次数 $d$ に集中することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小斜度や非臨界定義の仮定なしに、$p$-精錬ヒルベルトモジュラー形式に対する $p$-進 $L$-関数を構成できるか？
• RQ2 コホモロジーから局所解析的分布への周期写像に、アデール的かつ正規化された構成は存在するか？
• RQ3 適切さの仮定の下で、臨界定義点における固有値多様体は滑らかであるか？
• RQ4 $p$-進族全体にわたって $L$-関数の特別値を $p$-進補間できるか？
• RQ5 モジュロ $p$ ガロア表現に $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$-像をもつ点における固有値多様体のコホモロジー的挙動はいかなるものか？

主な発見

• $p$-進 $L$-関数は、斜度や臨界定義の仮定なしに正規化され、$p$-進族全体に自然に変化する。
• 適切さの仮定の下で、$p$-区別的で適切な古典的点における固有値多様体は滑らかであり、$p$-進 $L$-関数の存在を保証する。
• モジュロ $p$ ガロア表現に $\mathrm{SL}_2(\mathbf{F}_p)$ を含むとき、固有値多様体のコホモロジーは中間次数 $d$ に集中する。
• 過収束コホモロジーから局所解析的分布への周期写像はアデール的に定義され、特別値の $p$-進補間を尊重する。
• 特性多様体 $\mathscr{X}(\Gamma_F)$ を通じて、代数的特別値 $\iota(\Lambda^{\mathrm{alg}}(\pi \otimes \theta, m+1))$ が $p$-進族全体に補間される。
• $\mathfrak{t}_D^{\mathrm{Ref}}/H^1_f(\mathrm{ad}(D))$ の変形空間の次元は $2[K:\mathbf{Q}_p]$ で有界であり、ガロア変形の期待されるモジュライ空間と整合する。