[論文レビュー] On p-adic loop groups and Grassmannians

Martin Kreidl|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、R を完全な k-代数とするとき、W(R) 上の格子を用いて SL_n の p-進アフィングラスマンニアンの幾何的枠組みを確立し、多重次数付きヒルベルト・スキームの射影的 k-部分多様体を構成して、p-進設定におけるシューベルト多様体を実現する。p-進グラスマンニアンへの G-作用を保つ全射的写像を構成する。R が k-代数で削減可能である場合、ヒルベルト・スキームの開軌道の R-点とシューベルト細胞の間の双対的対応が誘導される。

ABSTRACT

It is well-known that the coset spaces G(k((z)))/G(k[[z]]), for a reductive group G over a field k, carry the geometric structure of an inductive limit of projective k-schemes. This k-ind-scheme is known as the affine Grassmannian for G. From the point of view of number theory it would be interesting to obtain an analogous geometric interpretation of quotients of the form G(W(k)[1/p])/G(W(k)), where p is a rational prime, W denotes the ring scheme of p-typical Witt vectors, k is a perfect field of characteristic p and G is a reductive group scheme over W(k). The present paper is an attempt to describe which constructions carry over from the function field case to the p-adic case, more precisely to the situation of the p-adic affine Grassmannian for the special linear group G=SL_n. We start with a description of the R-valued points of the p-adic affine Grassmannian for SL_n in terms of lattices over W(R), where R is a perfect k-algebra. In order to obtain a link with geometry we further construct projective k-subvarieties of the multigraded Hilbert scheme which map equivariantly to the p-adic affine Grassmannian. The images of these morphisms play the role of Schubert varieties in the p-adic setting. Further, for any reduced k-algebra R these morphisms induce bijective maps between the sets of R-valued points of the respective open orbits in the multigraded Hilbert scheme and the corresponding Schubert cells of the p-adic affine Grassmannian for SL_n.

研究の動機と目的

• 関数体の設定から p-進設定へのアフィングラスマンニアンの幾何理論を拡張すること。特に SL_n に対して。
• 古典的関数体の場合に類似する、G(W(k)[1/p])/G(W(k)) の商の幾何的解釈を提供すること。
• 多重量付きヒルベルト・スキームの射影的 k-部分多様体を構成し、p-進グラスマンニアンにおけるシューベルト多様体をモデル化すること。
• 削減可能 k-代数 R に対して、ヒルベルト・スキームの開軌道の R-点と p-進グラスマンニアンのシューベルト細胞との間の双対的対応を確立すること。

提案手法

• R を完全な k-代数とするとき、SL_n の p-進アフィングラスマンニアンの R-点を、W(R) 上の格子を用いて記述する。
• 多重量付きヒルベルト・スキームの射影的 k-部分多様体を構成し、p-進グラスマンニアンへ G-作用を保つ写像を定める。
• 多重量付きヒルベルト・スキームを用いて、幾何的埋め込みにより p-進設定におけるシューベルト多様体を実現する。
• これらの部分多様体から p-進グラスマンニアンへの G-作用を保つ準同型を構成し、軌道構造を保存する。
• R が削減可能な k-代数である場合、R-点に誘導される写像を解析し、開軌道上で双対的であることを示す。
• p-進構造を扱い、再帰的群スキーム SL_n と整合性を保つために、Witt 環 W(R) の理論を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SL_n の p-進アフィングラスマンニアンは、関数体の場合に類似する幾何的実現が可能か？
• RQ2 多重量付きヒルベルト・スキームの部分多様体は、p-進設定におけるシューベルト多様体のモデルとして果たす役割は何か？
• RQ3 削減可能な k-代数 R に対して、ヒルベルト・スキームの開軌道の R-点と p-進グラスマンニアンのシューベルト細胞との間に双対的対応を確立できるか？
• RQ4 関数体の設定における構成は、Witt 環の構成を用いて p-進設定へどの程度まで持ち込められるか？

主な発見

• SL_n の p-進アフィングラスマンニアンの R-点は、W(R) 上の格子によってパrametrized され、空間の明示的モデルを提供する。
• 多重量付きヒルベルト・スキームの射影的 k-部分多様体は、p-進グラスマンニアンへ G-作用を保つ写像をもち、p-進文脈におけるシューベルト多様体を実現する。
• これらの準同型の像は、p-進グラスマンニアンにおけるシューベルト多様体に対応し、古典的理論を拡張する。
• 任意の削減可能な k-代数 R に対して、これらの準同型は、ヒルベルト・スキームの開軌道の R-点と、対応するシューベルト細胞との間で双対的写像を誘導する。
• 構成は G-作用を保ち、ヒルベルト・スキームと p-進グラスマンニアンとの間に幾何的ブリッジを提供する。
• Witt 環と多重量付きヒルベルト・スキームを用いることで、関数体のグラスマンニアンの主要な特徴が、p-進設定へうまく適応される。