[論文レビュー] On (p, q) Baskakov-Durrmeyer-Stancu Operators

Vishnu Narayan Mishra, Shikha Pandey|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、(p,q)-微積分フレームワークにスタンツ方式のパrameterを組み込むことで、新しいタイプの(p,q)バスクアコ・デュルマイヤー・スタンツ作用素を導入している。これにより近似の柔軟性が向上する。局所的およびグローバルな収束結果が確立されており、リプシッツ関数の収束速度と重み付き近似についても検討されており、数値的例示によって収束行動が確認されている。

ABSTRACT

In the present paper, we introduce the generalized form of $(p,q)$ Baskakov-Durrmeyer Operators with Stancu type parameters. We derived the local and global approximation properties of these operators and obtained the convergence rate and behaviour for the Lipschitz functions. Moreover, we give comparisons and some illustrative graphics for the convergence of operators to some function.

研究の動機と目的

• より高い近似の柔軟性を実現するため、(p,q)バスクアコ・デュルマイヤー作用素を一般化するために、スタンツ型パrameter α と β を導入すること。
• 新規作用素の局所的およびグローバル近似特性を(p,q)-微積分の文脈で調査すること。
• リプシッツクラスに属する関数に対する収束速度を確立し、[0, ∞) 上での重み付き近似を分析すること。
• 特定のパrameter選択とテスト関数に対して、収束行動を示す図的比較を提供すること。

提案手法

• (p,q)-整数および (p,q)-微積分を用いて定義される新しい線形正規作用素を提案し、関数の引数にスタンツ型パrameter α と β を組み込む。
• (p,q)-整数を用いて作用素のモーメント公式を導出し、1階および2階モーメントの明示的表現を含む。
• カンタロヴィチ型の手法と重み付きモジュラス連続性を用いて、収束速度およびグローバル近似を分析する。
• コロフキンの定理および (p,q)-微積分の恒等式を用いて、コンパクト区間上での一様収束および [0, ∞) 上での重み付き収束を証明する。
• カウチ＝シュワーツの不等式およびモーメント推定を用いて、モジュラス連続性の観点から近似誤差の上限を導出する。
• f(x) = cos(x²) を用いた数値シミュレーションを実施し、n が変化する場合の収束を可視化する。p=0.9, q=0.8, α=0.1, β=0.5 を設定。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタンツ型パrameter α と β は、(p,q)バスクアコ・デュルマイヤー作用素の近似特性にどのように影響を与えるか？
• RQ2 リプシッツクラスに属する関数に対する新規作用素の収束速度はいかほどか？
• RQ3 新規作用素は、非有界区間 [0, ∞) において重み付き近似を達成できるか？
• RQ4 作用素のモーメントは、その収束行動にどのように寄与するか？
• RQ5 数値的シミュレーションは、理論的収束結果をどの程度確認しているか？

主な発見

• 作用素は定数関数を保存しており、p, q, n, α, β の関数として明示的なモーメントが導出されている。
• 2階モーメントは γ*(n)(1 + x²) で有界であり、n → ∞ のとき γ*(n) → 0 となるため、収束が保証される。
• グローバル近似誤差は ν(1 + x²+λ)Ω(f;√γ*(n)) で有界であり、重み付きノルムでの収束が示される。
• リプシッツ関数の収束速度は O(√γ*(n)) であり、γ*(n) は p, q, n, α, β に依存する。
• 数値的結果により、n = 100 および n = 98 のとき、p=0.9, q=0.8, α=0.1, β=0.5 の条件下で作用素が f(x) = cos(x²) に収束することが確認された。
• 重み付き近似結果は f ∈ C*x²[0, ∞) に対して成り立ち、n の増加に伴い誤差が一様に減少する。