[論文レビュー] On p-torsion of p-adic elliptic curves with additive reduction

René Pannekoek|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、加法的還元をもつ楕円曲線の $ p $-進点からなる群 $ E_0(\mathbb{Q}_p) $ の位相的構造を決定し、$ p = 2, 3, 5, 7 $ の4つの例外的ケースを除いて $ \mathbb{Z}_p $ に同型であることを示している。$ p = 2, 3, 5, 7 $ の場合、同型は $ p\mathbb{Z}_p \times \mathbb{F}_p $ に成り、その際 $ \mathbb{F}_p $ は離散位相をもつ。この結果は、形式的群法則と曲線の形式的群上での乗法 $ p $-写像の付加的評価解析を用いて得られている。

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve with additive reduction over the p-adic numbers, and let G be the group of p-adic points on E that have good reduction. This paper gives necessary and sufficient conditions for G to contain non-trivial p-torsion.

研究の動機と目的

• 加法的還元をもつ楕円曲線に対して、$ \mathbb{Q}_p $ 上の $ p $-進点の部分群 $ E_0(\mathbb{Q}_p) $ の位相的群構造を同定すること。ここで $ E_0(\mathbb{Q}_p) $ は、還元された曲線上の非特異点に還元される点からなる。
• 最小Weierstrass方程式 $ \mathbb{Z}_p $ 上で定義された係数について、$ E_0(\mathbb{Q}_p) $ が $ \mathbb{Z}_p $ に同型でないことを引き起こす正確な条件を特定すること。
• 形式的群の理論を拡張し、フィルトレーション $ E_0(\mathbb{Q}_p) \triangleright E_1(\mathbb{Q}_p) \triangleright \cdots $ を分析し、商群 $ E_0(\mathbb{Q}_p)/E_1(\mathbb{Q}_p) $ が非標準的に分解する条件を同定すること。
• $ p \neq 2,3,5,7 $ で加法的還元をもつ $ \mathbb{Q} $ 上の楕円曲線の明示的例を提示し、$ E_0(\mathbb{Q}_p) \not\to \mathbb{Z}_p $ となる例を示すこと。また、有理数係数で良い還元をもつ $ p $- torsion 点を持つ曲線を構成すること。
• 文献に既存の結果を一般化し、特異点を持つ特別なファイバーをもつ $ \mathbb{Z}_p $ 上のWeierstrass曲線（加法的還元をもつ楕円曲線に限らない）を考察すること。

提案手法

• 各商群 $ E_n/E_{n+1} \to \mathbb{F}_p $ をみたす標準的フィルトレーション $ E_0(\mathbb{Q}_p) \triangleright E_1(\mathbb{Q}_p) \triangleright \cdots $ を用い、形式的対数を介して $ E_2(\mathbb{Q}_p) $ を $ p^2\mathbb{Z}_p $ に同定する。
• $ p > 2 $ の場合、$ E_1(\mathbb{Q}_p) \to p\mathbb{Z}_p $ への自然な同型 $ j' $ の存在を用い、形式的群上の乗法 $ p $-写像の挙動を解析することで、これを $ E_0(\mathbb{Q}_p) $ に拡張する。
• 形式的群 $ \hat{E} $ 上の乗法 $ p $-写像 $[p](T)$ のべき級数展開に対して、評価論的解析を適用し、最低次の項に注目することで、$[p](z)$ の評価が 1 になる条件を同定する。
• 問題を、$ p^2 $ を法としてある係数条件を満たすか否かのチェックに還元する：$ p=2 $ のとき $ a_1 + a_3 \not\to 2 \bmod 4 $、$ p=3 $ のとき $ a_2 \not\to 6 \bmod 9 $、$ p=5 $ のとき $ a_4 \not\to 10 \bmod 25 $、$ p=7 $ のとき $ a_6 \not\to 14 \bmod 49 $。
• $ \mathbb{Z}_p $ 内で $ z \to z^p \bmod p $ が成り立つことを利用し、評価条件 $ v_p([p](z)) = 1 $ を係数に関する合同式に簡略化する。
• 補題 7 を完全系列 $ 0 \to p\mathbb{Z}_p \to E_0(\mathbb{Q}_p) \to \mathbb{F}_p \to 0 $ に適用し、拡張が分裂するための必要十分条件が評価条件が成り立たないことであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的還元をもつ $ \mathbb{Q}_p $ 上の楕円曲線に対して、$ p $-進点の群 $ E_0(\mathbb{Q}_p) $ が位相群として $ \mathbb{Z}_p $ に同型となるのはいつか？
• RQ2 最小Weierstrassモデルの係数について、$ E_0(\mathbb{Q}_p) $ が $ \mathbb{Z}_p $ に同型でなくなる正確な条件は何か？その場合、$ E_0(\mathbb{Q}_p) \to p\mathbb{Z}_p \times \mathbb{F}_p $ に同型となる。
• RQ3 楕円曲線の形式的群法則の構造は、フィルトレーション商群 $ E_0(\mathbb{Q}_p)/E_1(\mathbb{Q}_p) $ の分裂にどのように影響するか？
• RQ4 $ p \neq 2,3,5,7 $ の場合、$ E_0(\mathbb{Q}_p) $ は常に $ \mathbb{Z}_p $ に同型であるが、なぜ例外的ケースはこれらの素数でのみ発生するのか？
• RQ5 加法的還元をもつ $ \mathbb{Q} $ 上の楕円曲線で、$ p $- torsion 点が $ \mathbb{Q} $ 上に定義され、かつ $ E_0(\mathbb{Q}_p) $ に属するようなものを構成できるか？

主な発見

• $ p > 7 $ のとき、すべての係数 $ a_i \to 0 \bmod p $ ならば、$ E_0(\mathbb{Q}_p) $ は $ \mathbb{Z}_p $ に位相的に同型であり、形式的対数を介して標準的同型である。
• $ p = 2 $ のとき、$ a_1 + a_3 \to 2 \bmod 4 $ ならば $ E_0(\mathbb{Q}_2) \not\to \mathbb{Z}_2 $ であり、このとき $ E_0(\mathbb{Q}_2) \to 2\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{F}_2 $ に同型で、$ \mathbb{F}_2 $ は離散位相をもつ。
• $ p = 3 $ のとき、$ a_2 \to 6 \bmod 9 $ ならば $ E_0(\mathbb{Q}_3) \not\to \mathbb{Z}_3 $ であり、このとき $ E_0(\mathbb{Q}_3) \to 3\mathbb{Z}_3 \times \mathbb{F}_3 $ に同型である。
• $ p = 5 $ のとき、$ a_4 \to 10 \bmod 25 $ ならば $ E_0(\mathbb{Q}_5) \not\to \mathbb{Z}_5 $ であり、このとき $ E_0(\mathbb{Q}_5) \to 5\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{F}_5 $ に同型である。
• $ p = 7 $ のとき、$ a_6 \to 14 \bmod 49 $ ならば $ E_0(\mathbb{Q}_7) \not\to \mathbb{Z}_7 $ であり、このとき $ E_0(\mathbb{Q}_7) \to 7\mathbb{Z}_7 \times \mathbb{F}_7 $ に同型である。
• 論文は、$ p = 2,3,5,7 $ で加法的還元をもつ $ \mathbb{Q} $ 上の楕円曲線の明示的例を提示し、それぞれが $ E_0(\mathbb{Q}_p) $ に属する有理 $ p $- torsion 点をもつことを確認している。